7. 一つの母分散の検定と推定

平均寸法が同じでも、ばらつきが増えれば規格外が増える可能性があります。独立な正規標本では、$H_0:\sigma^2=\sigma_0^2$ に対し

$$Q=\frac{(n-1)V}{\sigma_0^2}\sim\chi^2_{n-1}.$$

母分散の検定は正規性からのずれに敏感です。品種混合、時間的な変化、測定誤差があるデータへ形式的に適用しません。

n＝10、V＝4mm²、基準分散1mm²とします。$Q=9\times4/1=36$。増加の片側5%検定の限界は $\chi^2_{0.95,9}\approx16.919$ なので、基準分散以下とみなす仮説の境界を超え、増大を示す証拠となります。両側検定なら下側・上側に2.5%ずつ割り当てます。

$$\left[\frac{(n-1)V}{\chi^2_{0.975,n-1}},\quad \frac{(n-1)V}{\chi^2_{0.025,n-1}}\right].$$

自由度9の下側累積分位点は2.7004と19.0228。例題では

$$[36/19.0228,\ 36/2.7004]=[1.8925,\ 13.3314]\text{ mm}^2.$$

標準偏差の区間は両端の平方根を取り、約[1.3757, 3.6512]mmです。分散や標準偏差の区間は、点推定の左右で同じ幅にはなりません。

ばらつきの増加を検出したら、時間順の管理図や設備・測定器・品種による層別で原因を調べます。検定は変動要因を自動で説明しません。標準偏差を半分にする目標なら、分散は4分の1になることにも注意します。

基準分布と母分散の推定に対応します。

n＝16、V＝3、基準分散2の検定統計量と自由度は？

解答・解説

$Q=15\times3/2=22.5$、自由度15です。分散を使うので標準偏差の比とは異なります。