手法選択・公式の早見表

知りたい母数は平均・分散・比率・相関・回帰係数のどれか、標本は一つか二つか、二つなら独立か対応ありか、分布と分散に何を仮定するかを確認します。その後に推定か検定か、検定なら方向と有意水準を決めます。

このコースの標本分散s²は分母n−1。確率点 $q_p$ は左側累積p点です。下の式は、各章の正規性・独立性・標本の大きさなどの前提と一緒に使います。

問い	分布	平均・分散	読む章
独立なn回中の成功数	二項B(n,p)	np、np(1−p)	離散分布
一定区間の発生回数	ポアソンPo(λ)	λ、λ	離散分布
最初の成功までの試行数	幾何（1始まり）	1/p、(1−p)/p²	離散分布
r回目の成功までの試行数	負の二項	r/p、r(1−p)/p²	離散分布
N個中M個から非復元でn個	超幾何	nM/N、有限母集団補正あり	離散分布
区間内で一定の密度	一様U(a,b)	(a+b)/2、(b−a)²/12	連続分布
一定発生率での待ち時間	指数（率λ）	1/λ、1/λ²	連続分布
対称な山型のモデル	正規N(μ,σ²)	μ、σ²	連続分布

ベルヌーイは1回の0・1、幾何と負の二項は何を数えるかの定義、指数は率か平均かを確認します。

$$\begin{aligned} s^2&=\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1},\quad s=\sqrt{s^2} \\ s_{xy}&=\frac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{n-1},\quad r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y} \\ b&=\frac{S_{xy}}{S_{xx}},\quad a=\bar y-b\bar x,\quad \hat y=a+bx \\ R^2&=1-\frac{SSE}{SST},\quad s_e^2=\frac{SSE}{n-2}\quad\text{（単回帰）} \\ \bar R^2&=1-(1-R^2)\frac{n-1}{n-k-1}\quad\text{（説明変数k個、切片あり）} \end{aligned}$$

Sxx・Sxyは、平均からの偏差の2乗和・積和です。ローレンツ曲線の下の面積Aから無補正ジニ係数は1−2A。偏相関、歪度・尖度の定義は分布の章と関連の章を参照してください。

$$\begin{aligned} E(aX+bY)&=aE(X)+bE(Y) \\ V(aX+bY)&=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y) \\ P(A\mid B)&=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)} \end{aligned}$$

期待値の加法性に独立性は不要。分散では共分散が必要で、差の分散も、独立なら各分散を足します。条件付き確率は分母の集団を確認します。

母数	1−α区間・方法	条件・注意
平均・母分散既知	$\bar x\pm z_{1-\alpha/2}\sigma/\sqrt n$	正規性または正規近似
平均・母分散未知	$\bar x\pm t_{n-1,1-\alpha/2}s/\sqrt n$	正規標本で正確なt区間
分散	$[(n-1)s^2/\chi^2_{n-1,1-\alpha/2},\ (n-1)s^2/\chi^2_{n-1,\alpha/2}]$	大きい点で割った方が下限
比率	$\hat p\pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$	成功・失敗が十分多い近似
相関	atanh(r) ± $z_{1-\alpha/2}/\sqrt{n-3}$ をtanhで戻す	2変量正規・十分な標本で近似

比較	標準誤差・統計量の分母	基準分布
独立な平均差・母分散既知	$\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}$	標準正規
独立な平均差・未知等分散	$s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}$	t、自由度n1+n2−2
独立な平均差・未知不等分散	$\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$	Welch近似自由度のt
対応ありの平均差	$s_D/\sqrt n$	t、自由度n−1
分散比	比を帰無の比で割る	F、自由度n1−1・n2−1
独立な比率差0の検定	$\sqrt{\hat p(1-\hat p)(1/n_1+1/n_2)}$、pはプール比率	正規近似

平均差の統計量は、観測差から帰無の差を引いてSEで割ります。区間は観測差±確率点×SEです。比率差の区間推定では各群の標本比率を別々にSEへ入れ、等比率の検定とは分けます。分散比の区間とWelchの自由度式は第13章を確認してください。

分析	自由度・公式
適合度	k分類、m個の母数を推定：k−1−m
r×c表の独立性	(r−1)(c−1)
切片あり単回帰	回帰1、残差n−2
切片あり重回帰、説明変数k個	回帰k、残差n−k−1
一元配置、k群・N件	群間k−1、群内N−k
回帰やANOVAのF比	説明する変動の平均平方 ÷ 誤差平均平方

標準正規のq0.975 ≈ 1.96、q0.95 ≈ 1.645。tの自由度9のq0.975 ≈ 2.262。χ²の自由度9ではq0.025 ≈ 2.700、q0.975 ≈ 19.023です。正規以外は自由度を指定せずに点を決められません。

p値はH0の確率ではなく、不棄却は同じという証明ではありません。信頼区間は個々の値の範囲ではなく、予測区間とも異なります。統計的有意と実用的な大きさを分け、独立性・代表性・モデルの形を確認して結論を述べましょう。