8. 二つの母平均・対応のある比較

設備Aの製品10個と設備Bの別製品10個は独立二群の候補です。同じ10個を二つの測定器で測ったなら対応があります。対応を無視すると、製品ごとの違いが誤差へ混ざります。

帰無仮説を $\mu_1-\mu_2=\delta_0$ とします。母分散既知なら

$$Z=\frac{\bar X_1-\bar X_2-\delta_0}{\sqrt{\sigma_1^2/n_1+\sigma_2^2/n_2}}.$$

未知で、正規性と共通の母分散を仮定するとプールtを用います。

$$V_p=\frac{(n_1-1)V_1+(n_2-1)V_2}{n_1+n_2-2},\quad T=\frac{\bar X_1-\bar X_2-\delta_0}{\sqrt{V_p(1/n_1+1/n_2)}}.$$

自由度は $n_1+n_2-2$。95%信頼区間は平均差 $\pm t_{0.975,\nu}SE$ です。

各n＝10、平均差2mm、両群V＝4mm²なら、$V_p=4$、$SE=\sqrt{0.8}=0.89443$、t＝2.2361、自由度18。限界2.1009を超えるため両側5%で棄却し、差の95%区間は約[0.121, 3.879]mmです。

等分散を仮定しない場合はWelch法を用います。SEは $\sqrt{V_1/n_1+V_2/n_2}$、近似自由度は

$$\nu=\frac{(V_1/n_1+V_2/n_2)^2}{(V_1/n_1)^2/(n_1-1)+(V_2/n_2)^2/(n_2-1)}.$$

本教材では手法選択の補足として示します。「分散比の検定で有意でなかったから等分散が証明された」とは考えません。

各対象で差 $d_i=\text{後}-\text{前}$ を取り、$T=(\bar d-\delta_0)/(s_d/\sqrt n)$、自由度n−1を使います。差が独立に抽出され、正規性などの条件が成り立つことを確認します。

差が[1,2,3,2,2]なら、$\bar d=2$、平方和2、$V_d=0.5$、SE＝0.31623、t＝6.3246、自由度4。95%区間は $2\pm2.7764\times0.31623$、約[1.122, 2.878]です。前後を同じ対象で比べても、時期の影響などが残れば処置の因果効果を直ちに断定できません。

2母集団の検定と差の推定で条件別に復習します。

同じ部品8個を改善前後に測定する。対応tの自由度は？

解答・解説

差8個の一標本として自由度7です。16測定だから15とはしません。