8. 離散型確率分布

何のために分布を選び分けるのか

「10回のうち何回成功するか」と「最初の成功まで何回かかるか」は、同じ成功確率でも違う問いです。また、戻さない抽出では成功確率が変わります。問題文から固定しているものと数えるもの、独立性の条件を整理して分布を選びます。

分布	Xが数えるもの	平均	分散
ベルヌーイ(p)	1回の成功を1、失敗を0	p	p(1−p)
二項B(n,p)	独立なn回中の成功回数	np	np(1−p)
ポアソンPo(λ)	一定区間内の発生回数	λ	λ
幾何(p)	最初の成功までの試行回数、1始まり	1/p	(1−p)/p²
超幾何(N,M,n)	N個中M個の成功品から戻さずn個取った成功数	nM/N	$np(1-p)(N-n)/(N-1)$ 、p=M/N
負の二項(r,p)	r回目の成功までの試行回数	r/p	r(1−p)/p²

幾何・負の二項には「成功までの失敗回数」を数える別の定義があります。本章は試行回数を数えます。定義を変えると取り得る値と平均が変わります。

各回の成功が0・1で、独立・成功確率一定なら、その和は二項分布です。

P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,\ldots,n

例として成功確率0.2で10回試行し、2回成功する確率は $\binom{10}{2}0.2^2\,0.8^8\approx0.3020$ です。平均2、分散1.6。期待値が2でも必ず2回になるわけではありません。

P(X=k)=e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!},\quad k=0,1,\ldots

発生率が一定で、重ならない区間の発生が独立などの条件を持つモデルで、一定時間内の到着件数などを考えます。1時間の平均到着が2件なら、0件の確率は $e^{-2}\approx0.1353$ 、3件は $e^{-2}2^3/6\approx0.1804$ です。

2時間の平均は4件となるモデルですが、混雑時間帯で発生率が変わるなら、単純に同じ率を使えません。二項分布でnが大きくpが小さい場合、λ = npのポアソン分布で近似することもあります。

平均が同じでも分布は違う

二項分布B(10,0.2)とポアソン分布Po(2)。平均は両方2、分散は1.6と2。横軸0〜10を表示し、ポアソンには11以上の小さな確率もあります。

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

独立に成功確率pで繰り返すとき、最初の成功がk回目である確率は、

P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\ldots

p = 0.2なら、3回目で初成功は0.8² × 0.2 = 0.128、平均待ち回数5です。「3回以内に成功」は $1-0.8^3=0.488$ 。失敗が続いても、各回独立なら次の成功確率は0.2のままです。

幾何分布は、失敗が続いた後の残りの待ち回数の分布が変わらない無記憶性を持ちます。これは成功確率が毎回一定で独立という仮定に依存します。

N個のうち成功品がM個あり、戻さずn個取るとき、

P(X=k)=\frac{\binom Mk\binom{N-M}{n-k}}{\binom Nn}

です。10個中不良3個から4個を取り、不良が1個の確率は $\binom31\binom73/\binom{10}4=105/210=\mathbf{0.5}$ 。平均1.2、分散 $4\times0.3\times0.7\times6/9=0.56$ です。

二項分布と違い、途中の抽出結果で残る個数が変わります。標本が母集団に比べ小さければ二項近似を検討できますが、常に同じではありません。

r回目の成功がk回目に起こるには、最後が成功で、その前のk−1回にr−1回の成功が必要です。

P(X=k)=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r},\quad k=r,r+1,\ldots

r = 2、p = 0.5で、3回目に2回目の成功となる確率は $\binom21(0.5)^2(0.5)=\mathbf{0.25}$ 。平均試行回数は4、分散4です。失敗回数を数える定義なら平均はr(1−p)/pとなるので、問題文のXの意味を必ず確認します。

回数nが固定なら二項、初成功までなら幾何、r回の成功までなら負の二項、有限個を戻さず取るなら超幾何、時間内の発生件数ならポアソンを候補にします。その後で、それぞれの独立性・確率一定などの条件を点検します。

解答・解説