13. 正規分布・標準化・確率

過去の測定値だけでなく、同じ工程から今後生じる値の広がりを考えるため、確率分布を使います。正規分布は左右対称の釣鐘形で、平均 $\mu$ が位置、標準偏差 $\sigma>0$ が幅を決めます。$N(\mu,\sigma^2)$ と書く流儀では第2引数が分散であることに注意します。

• 青実線：平均0・σ＝1
• 橙破線：平均0・σ＝2

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

x	σ＝1の密度	σ＝2の密度
-4	0.000134	0.026995
-2	0.053991	0.120985
0	0.398942	0.199471
2	0.053991	0.120985
4	0.000134	0.026995

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

連続分布では一点ちょうどの確率は0で、区間の面積が確率です。裾は無限に続くため、±3σの外は絶対に出ないという意味ではありません。

$X\sim N(100,2^2)$ mm、規格上限104mmと仮定します。標準化して

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma},\qquad P(X>104)=P\left(Z>\frac{104-100}{2}\right)=P(Z>2)\approx0.02275.$$

上側だけなら約2.275%。下限96mmもあるなら $P(96\le X\le104)=P(-2\le Z\le2)\approx0.95450$、両側の規格外は約4.550%です。片側と両側を取り違えないようにします。

累積分布関数を $\Phi(z)=P(Z\le z)$ とすれば、上側は $1-\Phi(z)$、区間は $\Phi(b)-\Phi(a)$、対称性は $\Phi(-z)=1-\Phi(z)$。表が上側確率、左側累積、0からzの面積のどれかを最初に確かめます。

区間	正規モデルで入る確率の目安
$\mu\pm\sigma$	約68.27%
$\mu\pm2\sigma$	約95.45%
$\mu\pm3\sigma$	約99.73%

測定の丸め、複数工程の混合、片側に偏る量では正規近似が不適切な場合があります。工程が安定しているか、データに依存や外れた原因がないか、ヒストグラムや層別で確認します。推定した平均・標準偏差を使うと、その推定誤差も残ります。小標本の形だけで完全な適合は証明できません。

基礎は確率分布、式と他の分布との比較は連続分布へ。平均の分布と個々の値の分布の違いは標本分布が役立ちます。

平均50、標準偏差5の正規分布で、60を標準化した値と60超の確率は？

解答・解説

$z=(60-50)/5=2$、確率は約0.02275です。10を分散25で割らず、標準偏差5で割ります。