用語・公式の早見表

知りたいこと	使う考え方	確認する条件	学習先
数字を平均してよいか	変数と尺度	ラベルか、差や比に意味があるか	データの種類
一部から全体を知りたい	標本調査	対象の選び方・無回答	標本調査
方法を変えた効果を知りたい	実験と対照群	割付・比較条件	実験
同じ平均の集団の違い	分散・標準偏差	分母nとn−1の違い	散らばり
二つの数量の関連	散布図・相関係数	直線性・外れ値・集団の混合	相関
xからyを予測したい	回帰直線	予測する方向・外挿の有無	回帰
規模の違う時系列の伸び	指数・増減率	基準年・季節・日数	時系列
条件が分かった後の確率	条件付き確率	条件に合う集団を分母にする	確率
独立に繰り返す成功回数	二項分布	回数一定・独立・成功確率一定	確率分布
母数を不確実さ付きで示す	信頼区間	無作為性・標本分布・近似条件	区間推定
基準値との違いを検討する	仮説検定	仮説と方向を先に決める	検定

本表の分散・共分散は分母をnとします。標準偏差0のとき、標準化や相関係数は定義できません。

$$\begin{aligned} \bar x&=\frac1n\sum x_i \\ v_x&=\frac1n\sum(x_i-\bar x)^2,\qquad s_x=\sqrt{v_x} \\ c_{xy}&=\frac1n\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y) \\ r&=\frac{c_{xy}}{s_xs_y} \\ \hat y&=a+bx,\qquad b=\frac{c_{xy}}{v_x},\quad a=\bar y-b\bar x \\ T&=50+10\frac{x-\bar x}{s_x},\qquad \mathrm{CV}=\frac{s_x}{\bar x} \end{aligned}$$

変動係数は主に正の平均を持つ比例尺度で使います。四分位範囲はQ3−Q1、範囲は最大値−最小値です。代表値・箱ひげ図・集計表の注意点は第5章を確認してください。

$$\begin{aligned} P(B\mid A)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\quad(P(A)>0) \\ P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ P(A\cap B)&=P(A)P(B)\quad\text{（独立の場合）} \\ E(X)&=\sum xP(X=x),\quad V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2 \\ X\sim B(n,p)&:\quad E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p) \\ X\sim N(\mu,\sigma^2)&:\quad Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) \end{aligned}$$

二項分布を正規近似するときは、平均np、分散np(1−p)を使い、近似が適切な条件と連続修正を確認します。

対象	標準誤差・統計量	条件と注意
標本平均	$\sigma/\sqrt n$	個々の値の標準偏差とは異なる
標本比率	$\sqrt{p(1-p)/n}$	母比率pが未知なら推定が必要
母平均95%区間	$\bar x\pm1.96\sigma/\sqrt n$	母標準偏差既知、正規性または正規近似
母比率95%区間の近似	$\hat p\pm1.96\sqrt{\hat p(1-\hat p)/n}$	成功・失敗の数が十分大きい場合の近似
母平均のz検定	$(\bar x-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)$	母標準偏差既知など、適用条件を確認
母比率のz検定	$(\hat p-p_0)/\sqrt{p_0(1-p_0)/n}$	分母は帰無仮説の比率p0を使う

母分散未知なら標本から推定します。小標本の正規母集団ではt分布を使い、大標本近似と区別します。不偏分散は偏差の2乗和をn−1で割ります。

用途・面積	値
中央約95%の境界、両側5%検定	±1.96
上側片側5%の境界	1.645
z = 1より大きい面積	約0.1587
z = 2より大きい面積	約0.0228
z = 2.5より大きい面積	約0.0062

分布表によって示す面積が違います。左側累積か、上側か、0からzかを先に確認します。

相関があることは因果関係の証明ではありません。回帰の予測は確定値ではなく、外挿では関係が続く根拠が必要です。95%信頼区間は個々の値の95%が入る範囲ではありません。p値は帰無仮説が正しい確率ではなく、棄却しないことも「同じ」の証明ではありません。