11. t・χ²・F分布と分布表

母平均、母分散、二つの分散の比では、比較する統計量の形が異なります。どんな統計量も正規分布と比較してよいわけではありません。標準化した平均、2乗和、分散比のどれを使うかを確認して分布を選びます。

独立な $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$、標本分散 $s^2=\sum(X_i-\bar X)^2/(n-1)$ とします。

統計量	分布	主な用途
$(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)$	N(0,1)	母分散既知の平均
$(\bar X-\mu)/(s/\sqrt n)$	自由度n−1のt	母分散未知の平均
$(n-1)s^2/\sigma^2$	自由度n−1のχ²	母分散
$(s_1^2/\sigma_1^2)/(s_2^2/\sigma_2^2)$	自由度n1−1、n2−1のF	独立な二群の母分散比

正規母集団では標本平均と標本分散が独立で、この性質がtなどの分布の導出につながります。正規性が崩れると、特に分散の推測は影響を受けることがあります。

t分布は0を中心に左右対称で、自由度が小さいほど正規分布より裾が厚くなります。標準偏差まで推定した不確実さを反映します。自由度が大きくなると標準正規分布に近づきます。

• 青実線：標準正規分布
• 橙破線：t分布、自由度4

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

x	標準正規の密度	自由度4のtの密度
-4	0.000134	0.006708
-2	0.053991	0.066291
0	0.398942	0.375
2	0.053991	0.066291
4	0.000134	0.006708

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

自由度9で中央95%の境界は約±2.262です。標準正規の±1.96より広いことから、小標本で機械的に1.96を使うと区間が狭くなると分かります。

自由度νが1より大きければ平均0、2より大きければ分散ν/(ν−2)です。自由度が小さい場合に平均や分散が存在しないことがあり、左右対称だから必ず有限の平均があるとは限りません。

独立な標準正規変数ν個の2乗和は自由度νのχ²分布です。値は非負、平均ν、分散2ν。自由度が小さいほど右に裾を引きます。

• 青：自由度4のχ²分布
• 縦の破線：平均4

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

x	自由度4のχ²の密度
0	0
2	0.18394
4	0.135335
8	0.036631
12	0.007436
16	0.001342

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

母分散の区間を作るとき、正規分布のように平均±同じ幅とはなりません。上限・下限の確率点を取り違えないようにします。

独立な $U\sim\chi^2_{\nu_1}$、$V\sim\chi^2_{\nu_2}$ なら、$(U/\nu_1)/(V/\nu_2)$ がF分布です。分子と分母の二つの自由度を持ち、非負で右に裾を引きます。

• 分子自由度4、分母自由度8

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

x	F(4,8)の密度
0	0
0.4	0.669796
1	0.438957
2	0.15625
4	0.027435
8	0.00256

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

逆数を取ると自由度が入れ替わり、$1/F\sim F_{\nu_2,\nu_1}$ です。また、tの2乗は $t_\nu^2\sim F_{1,\nu}$ で、単回帰の傾きの両側t検定とF検定の関係を理解できます。

F分布の平均はν2 > 2ならν2/(ν2−2)、分散はν2 > 4なら $2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)/\{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)\}$ です。例のF4,8では平均4/3、分散20/9です。平均や分散が存在する条件も、自由度と結び付いています。

本コースは $q_p$ を $P(W\le q_p)=p$ となる左側累積p点とします。上側5%点はq0.95、中央95%を挟むのはq0.025とq0.975です。

実際の表に「上側確率0.025」と書かれていれば、それは本コースのq0.975です。記号だけで判断せず、小さな図に欲しい裾を書き、分布名、自由度、上側か下側かを確認して読みます。

χ²の自由度9ならq0.025 ≈ 2.700、q0.975 ≈ 19.023です。正規・tと異なり、下側点を上側点のマイナスとして作ることはできません。

1. n = 16の正規標本から、母分散未知の平均を推測するときのtの自由度はいくつですか。
2. F比の分子はn1 = 10、分母はn2 = 15の分散です。二つの自由度を順に答えてください。
3. 上側2.5%点は、本コースの左側累積記号ではどの点ですか。

解答・解説

1. 15です。
2. 9、14です。分子と分母を入れ替えると順序も変わります。
3. q0.975です。全体1から上側0.025を引いた累積確率です。