10. 正規・二項・ポアソンの推測

平均、割合、発生率のどれを比較したいか、独立標本か同じ対象の前後かを決めます。検定名をデータに当てはめる前に、母数・標本単位・仮定を書き出します。

対象	統計量・分布	注意
正規平均、分散既知	$Z=(\bar X-\mu_0)/(\sigma/\sqrt n)$	帰無下で標準正規
正規平均、分散未知	$t=(\bar X-\mu_0)/(S/\sqrt n)$	自由度 $n-1$
正規母分散	$(n-1)S^2/\sigma_0^2$	自由度 $n-1$ のカイ二乗
独立2平均、分散不等	Welchのt	自由度も近似する
対応ある2平均	差 $D_i$ の1標本t	元の2群を独立扱いしない
正規2分散	$S_1^2/S_2^2$	正規性の逸脱に敏感なF検定
二項比率	二項の裾確率、またはスコア統計量	両側p値の定義を明記
ポアソン率	観測時間を含む尤度	人数だけでなく曝露量をそろえる

5台の機械の調整前後の差（後−前）が $-1,-2,0,-1,-1$ とします。平均−1、標本分散0.5なので $t=-1/\sqrt{0.5/5}=-3.1623$、自由度4。両側p値は約0.0341です。機械ごとの基準差を相殺するため差を解析します。正規性は差の分布についての仮定です。

10試行で8成功、$H_0:p=0.5,H_1:p>0.5$ なら

$$p_{\mathrm{value}}=P_{0.5}(X\ge8)=\frac{45+10+1}{1024}=0.0546875.$$

Waldの漸近検定では5%で棄却する場合があり、小標本で近似差が実質的な判断差になります。両側の正確p値には確率が観測値以下の事象を足す方法などがあり、単純な片側の2倍と常に一致するわけではありません。

事故数 $X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda t)$ なら率のMLEは $X/t$。観測時間1000時間で5件なら0.005件/時間です。異なる時間を観測した群の件数だけを比べるのは不公平です。$\lambda_0$ に対する検定では平均 $\lambda_0t$ のポアソン分布で裾を計算します。

3群以上を対ごとのt検定で何度も比較すると第一種過誤が増えます。まず全平均が同じかをANOVAで扱い、事前に決めた線形対比や、多重性を制御した比較へ進みます。有意でないという結果は同等性の証明ではありません。同等性を論じるなら、許容差を先に定め、区間と対応する検定を設計します。

2施設の事故数がどちらも5件。率も同じと結論してよいか？

解答・解説

観測時間や曝露人数が必要です。100時間で5件と1000時間で5件では推定率が10倍違います。推定の不確実性と独立性も確認します。