6. 確率とベイズの定理

何のために確率を更新するのか

不良品を検出する装置が反応したとして、本当に不良である確率はどれくらいでしょうか。「不良なら反応しやすい」と「反応したなら不良らしい」は、条件の向きが異なります。元の不良率も影響します。

ベイズの定理は、結果を観測した後で、原因側の確率を更新する方法です。式だけを暗記せず、どの集団を分母にしているかを人数でも確認しましょう。

全結果の集合をΩ、その一部の事象をA・Bとします。確率は0〜1、全体の確率は1です。補集合は「起こらない」、共通部分は「かつ」、和集合は「または」です。

\begin{aligned} P(A^c)&=1-P(A) \\ P(A\cup B)&=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ P(B\mid A)&=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}\quad(P(A)>0) \end{aligned}

排反なら共通部分は0。独立なら $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ です。正の確率を持つ排反な二事象は独立ではありません。片方が起こればもう片方は起こらないからです。

P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)

一つの経路の確率は、各段階の条件付き確率を掛けます。例えば赤2・白3から戻さず赤→白を取る確率は2/5 × 3/4です。独立でないから掛けられないのではなく、条件に合う確率を使うことが重要です。

AとA以外で全体を分けると、

P(B)=P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^c)P(A^c)

です。複数の原因候補でも、互いに重ならず全体を覆う分割なら同じように足せます。

架空の製品で、不良率1%、不良品に反応する確率90%、良品にも反応する確率5%とします。説明のため10,000個をこの比率に沿って分けます。

反応した585個のうち不良は90個なので、求める確率は90/585 ≈ **15.38%**です。「不良なら90%反応」を逆向きにして90%と答えてはいけません。良品が非常に多いため、その5%も反応群の大きな部分になります。

Aを不良、Bを反応とすると、

P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)P(A)}{P(B)} =\frac{0.9\times0.01}{0.9\times0.01+0.05\times0.99} \approx0.1538

です。 $P(A)$ は事前確率、 $P(B\mid A)$ はAの下で観測Bが起こる尤度、 $P(A\mid B)$ は事後確率です。分母は反応した全体の確率であり、不良率だけではありません。

もし事前の不良率が10%なら、0.09/(0.09+0.045) = 2/3です。同じ装置でも、調べる対象の事前確率が変わると事後確率が変わります。元の率がどの集団の値かを確認して使います。

同じ装置で2回反応したからといって、一回の結果を独立に二つ掛けられるとは限りません。装置の癖や製品の性質で反応が関連している場合があります。複数の情報を組み合わせるには、どの条件の下で独立と仮定するかを明示します。

$P(A)=0.2$ 、 $P(B\mid A)=0.6$ なら $P(A\cap B)$ はいくつですか。
$P(A)=0.2$ 、 $P(B\mid A)=0.8$ 、 $P(B\mid A^c)=0.1$ のとき、 $P(B)$ と $P(A\mid B)$ を求めてください。
$P(B\mid A)$ と $P(A\mid B)$ が等しいと一般に言えますか。

解答・解説