1. 確率・条件付き分布・母関数

「異常がある確率」と「警報が出た後で異常がある確率」は違います。1級では公式を選ぶだけでなく、何を条件として、どの標本空間で計算したかを説明します。以下の数値は学習用の仮定です。

異常率が0.01、異常時の警報率が0.9、正常時の誤警報率が0.05なら、全確率の公式とベイズの定理から

$$P(A)=0.9\times0.01+0.05\times0.99=0.0585,\qquad P(D\mid A)=\frac{0.009}{0.0585}=\frac2{13}\approx0.1538.$$

警報の的中率は約15.4%です。感度90%だけでは判断できず、事前の異常率が効いています。独立は $P(A\cap B)=P(A)P(B)$、排反は $A\cap B=\varnothing$。正の確率を持つ排反事象は独立ではありません。3事象の和集合は、単独の和から2重の共通部分を引き、3重の共通部分を足す包除原理で求めます。

同時密度 $f(x,y)=2$ を $0<x<y<1$、それ以外を0とします。三角形の面積が1/2なので積分は1です。

$$f_Y(y)=\int_0^y2\,dx=2y,\qquad f_{X\mid Y}(x\mid y)=\frac{2}{2y}=\frac1y\quad(0<x<y).$$

したがって $E(X\mid Y=y)=y/2$、$E(X)=E(Y)/2=1/3$。条件付き期待値の反復則は複雑なモデルを小分けにします。分散にも

$$\operatorname{Var}(X)=E\{\operatorname{Var}(X\mid Y)\} +\operatorname{Var}\{E(X\mid Y)\}$$

という「群内＋群間」の分解があります。

非負整数変数の確率母関数は $G_X(s)=E(s^X)$、積率母関数は $M_X(t)=E(e^{tX})$。独立なら和の母関数は積です。$X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda)$ の $G_X(s)=e^{\lambda(s-1)}$ を掛けると、独立なポアソン変数の和もポアソン分布と導けます。

MGFが0の近傍で存在するとき、$M'(0)=E(X)$、$M''(0)=E(X^2)$。存在しない分布に形式的な微分を使ってはいけません。特にコーシー分布には平均・分散もMGFもありません。

歪度は $E[(X-\mu)^3]/\sigma^3$、尖度は $E[(X-\mu)^4]/\sigma^4$（正規を0にする超過尖度は3を引く）。変動係数は $\sigma/\mu$ で、比率尺度かつ平均が正で0から離れた量に使います。中央値・四分位範囲は外れ値に比較的強く、範囲は標本数にも影響されます。相関は尺度をそろえた共分散であり、非線形な依存をすべて検出する量ではありません。

$X,Y$ が独立なポアソン変数で平均が2と3なら、和の平均・分散と分布は？

解答・解説

$G_{X+Y}(s)=e^{5(s-1)}$ から $X+Y\sim\mathrm{Poisson}(5)$。平均も分散も5です。独立性が積の根拠です。