17. p管理図・np管理図の考え方

品物を適合／不適合に分け、対象n個中の不適合品数をdとすると、率は $p_i=d_i/n_i$。率を打点するのがp管理図、個数を打点するのがnp管理図です。一つの品物の傷の総数を、そのまま不適合品数として数えません。

3級では目的と基本的な考え方が中心です。ここでは標本数と限界幅の関係を理解する補助として、典型的な3σの計算も示します。細かな運用は管理計画・上位級の学習へつなげます。

予備データから基準率を $\bar p=0.05$ と定めたとします。確認用の4群が $(n,d)=(100,4),(100,6),(400,24),(400,40)$。率は4%、6%、6%、10%です。

$$UCL_{p,i}=\bar p+3\sqrt{\frac{\bar p(1-\bar p)}{n_i}},\quad LCL_{p,i}=\max\left(0,\bar p-3\sqrt{\frac{\bar p(1-\bar p)}{n_i}}\right).$$

n＝100で上限約11.538%、下限は0に置き換える表記。n＝400では上限約8.269%、下限約1.731%。同じ率でも、調べる数が多いほど偶然の率の変動は小さくなります。これらの確認用データから基準率を再計算した図ではありません。

• 青点・実線：不適合品率
• 灰実線：基準率5%
• 橙破線：群のnに対応する限界

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

群	検査数n	不適合品数d	率（%）	CL（%）	UCL（%）	LCL（%）
1	100	4	4	5	11.538348	0
2	100	6	6	5	11.538348	0
3	400	24	6	5	8.269174	1.730826
4	400	40	10	5	8.269174	1.730826

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

nが一定なら個数をそのまま打点できます。中心は $n\bar p$、上下は $n\bar p\pm3\sqrt{n\bar p(1-\bar p)}$、負の下限は0へ補正する表記です。n＝100、基準率5%なら中心5個、上限約11.538個。打点は整数ですが、限界まで勝手に整数へ丸める必要はありません。

群サイズが異なる場合の全体率は $\bar p=\sum d_i/\sum n_i$。各群の率の単純平均ではありません。100個中2個と900個中90個なら、全体は92/1000＝9.2%。率2%と10%の単純平均6%は誤りです。

二項モデルの独立性・一定確率が疑わしいと、標準的な限界が適切でないことがあります。少数・低率では近似が粗くなる場合もあり、限界外を「原因が確定」と読みません。

離散分布で二項の性質、データの集め方で独立性・偏りを復習できます。比率の区間推定との違いを深めるなら推定へ進んでください。

検査数100個と1000個の不適合品数を、同じ中心・同じ限界のnp図で比べてよいか？

解答・解説

よくありません。同じ母率でも期待個数が10倍違います。率を扱いnに応じて限界を変えるp図など、設計に合う方法を用います。