3. 期待値・分散と確率分布

100個の製品で「不適合品が何個か」を数える場合、1個は適合か不適合のどちらかです。一方、布1m²の傷は同じ布に複数あり得ます。前者の基本モデルが二項分布、後者の候補がポアソン分布です。

分布	主な対象	平均	分散
正規 $N(\mu,\sigma^2)$	寸法などの連続量	$\mu$	$\sigma^2$
二項 $B(n,p)$	固定n個中の不適合品数	$np$	$np(1-p)$
ポアソン $\operatorname{Po}(m)$	一定機会内の不適合数	$m$	$m$

二項では各判定の独立と一定p、ポアソンでは独立な発生と一定の発生率を確認します。異なるロットの混合や発生の集中があると、理論分散より大きい変動が現れることがあります。

$$E(aX+b)=aE(X)+b,\qquad \operatorname{Var}(aX+b)=a^2\operatorname{Var}(X).$$

独立なら和の分散は各分散の和です。独立でないときは共分散の項が必要になります。標準偏差をそのまま足してはいけません。単位も、平均がmmなら分散はmm²です。

寸法が $N(100,2^2)$ に従うと仮定します。104mmを超える確率は $z=(104-100)/2=2$ より約0.02275です。96〜104mmに入る確率は約0.95450。密度の高さではなく、区間の面積を求めています。

二項分布では $P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k}$。不適合品率0.1、独立な10個中、少なくとも1個は $1-0.9^{10}=0.651322$ です。

ポアソン分布では

$$P(X=k)=e^{-m}\frac{m^k}{k!}.$$

1m²当たり平均2個の傷なら、1m²で0個の確率は $e^{-2}\approx0.135335$、2個以下は $e^{-2}(1+2+2^2/2)=0.676676$。条件が一様なら面積3m²の平均は6個です。平均個数mと、面積当たりの率を混同しないでください。

希少な不適合品の二項分布をポアソン分布で近似する場合は $m=np$ を使います。近似の良さはnとp、求める尾確率によるため、精度が必要なら元の二項確率で計算します。

離散分布と連続分布でモデルと確率計算を復習します。

平均3件のポアソン分布で0件の確率は？

解答・解説

$e^{-3}\approx0.049787$。0件だったことは発生率が0という証明ではありません。