2. 離散分布と確率モデルの選択

同じ「成功数」でも実験条件によって分布は変わります。独立な試行を $n$ 回固定し、成功確率が一定なら二項分布。有限集団から戻さず取るなら超幾何分布です。最初の成功まで試行を続けるなら幾何分布になります。

モデル	確率関数・範囲	平均・分散
離散一様 $1,\ldots,m$	$1/m$	$(m+1)/2$、$(m^2-1)/12$
ベルヌーイ	$p^x(1-p)^{1-x}$、$x=0,1$	$p$、$p(1-p)$
二項	$\binom nxp^x(1-p)^{n-x}$	$np$、$np(1-p)$
超幾何	$\binom Kx\binom{N-K}{n-x}/\binom Nn$	$nK/N$、$np(1-p)(N-n)/(N-1)$
幾何：成功までの試行回数	$(1-p)^{x-1}p$、$x\ge1$	$1/p$、$(1-p)/p^2$
負の二項：$r$回成功までの失敗数	$\binom{x+r-1}x p^r(1-p)^x$	$r(1-p)/p$、$r(1-p)/p^2$
ポアソン	$e^{-\lambda}\lambda^x/x!$	$\lambda$、$\lambda$

表の超幾何では $p=K/N$。幾何・負の二項は「試行回数」と「失敗数」の流儀を必ず確認します。

10個中2個が不良で、非復元で3個を抽出するとします。不良がちょうど1個の確率は

$$P(X=1)=\frac{\binom21\binom82}{\binom{10}3}=\frac7{15}\approx0.4667.$$

平均は0.6、分散は $3(0.2)(0.8)(7/9)=0.3733$。二項近似では分散0.48となり、非復元抽出によるばらつきの減少を無視します。標本抽出率が高ければ有限母集団補正は重要です。

$k$ 分類の確率を $p_1,\ldots,p_k$ とすると、$\sum x_j=n$ に対して

$$P(\boldsymbol X=\boldsymbol x)=\frac{n!}{\prod_jx_j!}\prod_jp_j^{x_j},\quad \operatorname{Var}(X_j)=np_j(1-p_j),\quad \operatorname{Cov}(X_j,X_l)=-np_jp_l\ (j\ne l).$$

10人を確率0.2、0.3、0.5で分類し、人数が2、3、5となる確率は約0.08505。各人数を独立な二項変数として同時確率を掛けるのは誤りです。総数10という制約が負の共分散を生みます。

二項で $n\to\infty,p\to0,np\to\lambda$ なら少数法則によりポアソンに近づきます。$np,n(1-p)$ が十分大きい場合は正規近似を検討し、$P(X\le k)$ は境界 $k+0.5$ で連続修正します。「大きい」の目安だけでなく、必要な尾確率の精度も確認します。過分散の件数には、独立性や一定発生率を点検し、負の二項モデルなどを考えます。

成功確率1/4で、3回成功するまでの失敗数の期待値は？

解答・解説

負の二項分布より $3(3/4)/(1/4)=9$。総試行回数の期待値は $9+3=12$ です。