総合演習（26問）

13章から各2問、計26問です。実際の試験を再現した模擬試験ではなく、理解を確認する演習です。答えを開く前に、使う手法・計算の分母・結論を書いてください。特に指定がない分散・共分散は分母nで計算します。

部活動名、満足度の低・中・高、摂氏温度、走った距離を四つの尺度に分けてください。

解答・解説

順に名義・順序・間隔・比例尺度です。数字で符号化していても、その数字に差や比の意味があるかで判断します。復習

10℃から20℃になることと、10分から20分になることを、両方とも「2倍」と解釈してよいでしょうか。

解答・解説

所要時間は比例尺度なので2倍の長さと言えます。摂氏温度の0は温度がないことを意味せず、2倍暖かいとは解釈できません。差10℃として読みます。復習

01〜15の生徒から3人を重複なく選びます。08 19 08 00 13 02 を左から読むと、誰が選ばれますか。

解答・解説

08・13・02です。19と00は範囲外、2回目の08は重複なので飛ばします。復習

全校800人から無作為に選んだ80人全員が回答し、20人が徒歩通学でした。全校の徒歩通学者の人数を点推定し、限界を説明してください。

解答・解説

比率20/80 = 0.25、800 × 0.25 = 200人と推定します。未調査の人の実数を確定したわけではなく、標本誤差が伴います。復習

すでに学習アプリを使っている生徒と使っていない生徒の得点を記録するのは、観察研究・実験研究のどちらですか。

解答・解説

観察研究です。使用を割り当てていません。元の意欲や得点など、別の違いも結果に関係し得ます。復習

実験で新教材の群は平均10点、従来教材の群は平均4点伸びました。「10点すべてが新教材の効果」と言えますか。

解答・解説

言えません。従来教材の群でも4点上がっています。変化の差は6点で、適切な割付・比較条件の下で効果を考える材料になります。偶然の変動も別に検討します。復習

円の面積を売上に比例させるとき、売上が4倍なら半径は何倍にしますか。

解答・解説

2倍です。半径を4倍にすると面積は16倍になります。復習

ある学年が全体の30%、その学年内で希望ありが60%でした。希望ありの長方形は全体の何%の面積ですか。

解答・解説

0.30 × 0.60 = **18%**です。幅は集団の人数比、高さは集団内割合、面積は全体に対する割合です。復習

1,2,2,3,7,9,10 の中央値、最頻値、四分位範囲を求めてください。奇数個では全体の中央値を上下に含めません。

解答・解説

中央値3、最頻値2。下半分1・2・2からQ1 = 2、上半分7・9・10からQ3 = 9なので四分位範囲は7です。復習

階級の度数が小さい方から4・8・6・2でした。第2階級までの累積相対度数と、第3階級だけの相対度数を求めてください。

解答・解説

総度数20なので、累積は12/20 = 0.6、第3階級だけなら6/20 = 0.3です。復習

2,4,6 の平均、分母nの分散、不偏分散を求めてください。

解答・解説

平均4、偏差の2乗和8なので分散は8/3、不偏分散は8/(3−1) = 4です。求める量の定義によって分母を変えます。復習

平均60・標準偏差8の試験で72点の偏差値を求めてください。また、平均200・標準偏差10の変動係数はいくつですか。

解答・解説

偏差値50 + 10 × (72−60)/8 = 65。変動係数10/200 = **0.05（5%）**です。復習

共分散3、xの標準偏差2、yの標準偏差3なら、相関係数はいくつですか。

解答・解説

3/(2 × 3) = 0.5です。単位の影響を取り除いた直線的関連の指標です。復習

xとyの相関係数が0なら、両者には関係がないと言えますか。

解答・解説

言えません。U字型など、直線では表せない関係がある場合もあります。散布図を確認します。復習

xの平均4、yの平均10、xの分散2、共分散3でした。yをxで予測する回帰直線を求めてください。

解答・解説

傾き3/2 = 1.5、切片10 − 1.5 × 4 = 4。予測y = 4 + 1.5xです。復習

問15でx = 6、観測y = 12なら、予測値と残差はいくつですか。

解答・解説

予測は4 + 1.5 × 6 = 13、残差は観測−予測なので12 − 13 = −1です。復習

基準年の売上80に対し、翌年100、2年後120でした。2年後の指数と、翌年から2年後の増加率を求めてください。

解答・解説

指数120/80 × 100 = 150、増加率(120−100)/100 = **20%**です。基準年からの50%増と、翌年からの20%増を区別します。復習

6,9,12,18,15 の中央に置く3項移動平均を求めてください。

解答・解説

2・3・4番目の位置に、27/3 = 9、39/3 = 13、45/3 = 15です。復習

100人中40人がバス通学で、バス通学者のうち8人が遅刻しました。バスという条件の下で遅刻する確率と、バスかつ遅刻の確率はいくつですか。一人を等しい確率で選ぶとします。

解答・解説

条件付きは8/40 = 0.2、同時確率は8/100 = 0.08です。分母の集団が違います。復習

独立なA・BについてP(A) = 0.2、P(B) = 0.5です。両方起こる確率と、少なくとも一方の確率を求めてください。

解答・解説

両方は0.2 × 0.5 = 0.1。少なくとも一方は0.2 + 0.5 − 0.1 = 0.6です。復習

成功確率0.25で独立に8回試行します。成功回数の平均・分散・0回の確率を求めてください。

解答・解説

平均8 × 0.25 = 2、分散8 × 0.25 × 0.75 = 1.5、0回の確率は0.75⁸ ≈ 0.1001です。復習

平均40・標準偏差5の正規分布で、50を標準化してください。二項分布の「10以上」を正規近似する際の連続修正後の下端も答えてください。

解答・解説

z = (50−40)/5 = 2。10以上の下端は9.5です。離散的な整数の区間を連続する分布へ対応させます。復習

適用条件が満たされ、母標準偏差が既知で8、n = 64、標本平均30のとき、母平均の95%信頼区間を求めてください。

解答・解説

標準誤差8/√64 = 1。30 ± 1.96なので、28.04〜31.96です。個々の観測値の95%の範囲ではありません。復習

無作為標本400人中200人が賛成でした。正規近似による母比率の95%信頼区間を求めてください。

解答・解説

標本比率0.5、標準誤差の推定は√(0.5 × 0.5/400) = 0.025。0.5 ± 1.96 × 0.025 = **0.451〜0.549（45.1〜54.9%）**です。復習

帰無仮説は母平均20、母標準偏差は既知で5、n = 100、標本平均21.5です。正規近似が使えるとして、zと両側5%での判断を求めてください。

解答・解説

標準誤差0.5、z = 1.5/0.5 = 3。絶対値が1.96を超えるので棄却します。平均が厳密に21.5と証明したわけではありません。復習

帰無仮説は母比率0.5、無作為標本100人中55人が賛成でした。正規近似によるzと両側5%の判断を求め、「差がないことが証明された」と言えるか説明してください。

解答・解説

帰無仮説の下の標準誤差は√(0.5 × 0.5/100) = 0.05、z = 0.05/0.05 = 1。1.96を超えないので棄却しません。「違いを示す根拠が十分でない」という判断で、同じだと証明したわけではありません。復習

間違えた問題は、用語、分母、計算、解釈のどこで迷ったかを書き分けます。各章の具体例へ戻り、数値を変えて同じ手順を説明できるか試しましょう。仕上げに出題範囲との対応表で、読んでいない項目がないか確認してください。