9. 二つの母分散の比

独立な正規二群について、$\theta=\sigma_1^2/\sigma_2^2$ を調べます。$H_0:\theta=1$ では

$$F_0=\frac{V_1}{V_2}\sim F_{n_1-1,n_2-1}.$$

分子・分母の自由度の順序は交換できません。分散を大きい順に並べ直したときは、仮説の方向と数表の使い方も変わります。本教材では最初に定めた群1／群2の順序を保ちます。

各n＝10、$V_1=4,V_2=1$ とします。F＝4、自由度(9,9)。両側5%では下側累積分位点 $F_{0.025,9,9}\approx0.2484$ と $F_{0.975,9,9}\approx4.0260$ を使います。4は上側限界をわずかに下回るため、両側5%では棄却できません。

「群1の方が大きい」という事前に決めた片側5%検定では $F_{0.95,9,9}\approx3.1789$ を超えます。結果を見て片側へ変更する例ではありません。

$$\left[\frac{V_1/V_2}{F_{0.975,\nu_1,\nu_2}},\quad \frac{V_1/V_2}{F_{0.025,\nu_1,\nu_2}}\right].$$

例題の95%区間は約[0.994, 16.104]。点推定が4でも区間が広く、1を含みます。母標準偏差の比なら区間の両端の平方根を取ります。逆数の性質 $F_{p,\nu_1,\nu_2}=1/F_{1-p,\nu_2,\nu_1}$ を使う際も、自由度を入れ替えます。

F検定は非正規性の影響を受けやすい方法です。工程変動、外れ値、混合分布を先に調べます。棄却できなかったことを、二つの分散が等しいという証明や、プールtを自動選択する根拠にはしません。

2標本の推定と基準分布へ進みます。

n1＝8、n2＝12、V1＝6、V2＝3。F値と自由度は？

解答・解説

F＝2、自由度は分子7・分母11です。標準偏差の比ではありません。