18. 工程能力指数Cp・Cpk

工程が時間的に安定しているかは管理図、安定した工程が規格に対して十分な余裕を持つかは工程能力の問いです。混合した工程や変化中の値を一つの指数にしても、今後の状態を代表しない場合があります。

両側規格の下限LSL、上限USL、工程標準偏差 $\sigma$ に対し

$$C_p=\frac{USL-LSL}{6\sigma},\qquad C_{pk}=\min\left\{\frac{USL-\mu}{3\sigma},\frac{\mu-LSL}{3\sigma}\right\}.$$

Cpは幅、Cpkは中心のずれも考慮します。片側規格なら存在しない側の幅を作らず、対応する片側の指数を使います。

規格90〜110mm、標準偏差2mmなら $C_p=20/12\approx1.6667$。平均100mmなら両側に同じ余裕がありCpkも1.6667。一方、平均106mmなら

$$C_{pk}=\min\{(110-106)/6,(106-90)/6\}=2/3\approx0.6667.$$

• 青実線：平均100・σ＝2
• 橙破線：平均106・σ＝2
• 灰色縦破線：規格90・110mm

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

平均（mm）	σ（mm）	LSL（mm）	USL（mm）	Cp	Cpk
100	2	90	110	1.666667	1.666667
106	2	90	110	1.666667	0.666667

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

2つの工程は同じ幅ですが、後者は上側規格へ近づいています。正規モデルなら後者の上側規格外は $P(Z>2)\approx2.275\%$、前者は上側だけで $P(Z>5)\approx0.0000287\%$。指数と確率の関係を言うには分布の仮定が必要です。

実務では未知のσを推定します。群内変動から $\hat\sigma=\bar R/d_2$ とする方法や、目的に応じた標準偏差を用います。全体の長期的な変動と群内の短期的な変動を混ぜず、定義・期間・データ数・推定法を明記します。推定値なので指数にも標本誤差があります。

Cpの値に対する一般的な目安はあっても、要求は顧客・用途・規格・リスクによって異なります。「1.33ならすべて合格」のように、指数だけで個品やロットの合否を決めません。非正規分布では6σの幅と尾確率の関係が変わります。

単位をそろえ、規格幅を逆にしないこと、分母の6σと3σを取り違えないことを点検します。平均が規格の外ならCpkの一方は負になり得ます。負値を0へ丸めて状態を隠してはいけません。

標準偏差、正規分布、標準化へ。応用を広げるなら1級の品質・信頼性も参照できます。

規格90〜110、平均104、σ＝2ならCpとCpkは？

解答・解説

Cp＝20/12＝約1.6667、Cpk＝min(6/6,14/6)＝1。幅だけでなく中心のずれを確認します。