4. データの集計と分布

通学時間が20人分並んでいると、個々の値は読めます。しかし「どれくらいの時間の人が多いか」「30分以上かかる人は多いか」を知るには、値を一つずつ探す必要があります。度数分布表は、たくさんの数値を区間ごとに数え、分布の特徴をつかむための道具です。

グラフにしたヒストグラムは、山の位置や広がりを読み取るのに役立ちます。一方で区間内の細かな値は失われます。何を見やすくし、何が分からなくなるかを理解して使いましょう。

データをいくつかの区間に分け、各区間にいくつあるかを数えます。区間を階級、その幅を階級幅、中央の値を階級値、件数を度数といいます。

20人の通学時間を次のようにまとめたとします。

階級幅は10分です。20分ちょうどは「20以上30未満」に入れます。「以上・未満」を使うと、重複や抜けを防げます。

• 相対度数 = その階級の度数 ÷ 全体の度数。集団の大きさが違っても分布を比較できます。
• 累積度数は小さい方の階級から度数を足したものです。
• 累積相対度数 = 累積度数 ÷ 全体の度数。相対度数を小さい順に足しても求められます。

表から、通学時間が20分未満の人は8人、30分未満の人は80%です。20分以上は20 − 8 = 12人です。階級の途中の「25分未満」の人数は、この表だけでは正確には分かりません。

相対度数の合計は丸める前なら1です。表示を丸めると、合計がちょうど1にならないこともあります。

階級内の値を階級値で代表させます。

平均の近似値 = （階級値 × 度数）の合計 ÷ 度数の合計

上の例では、(5 × 2 + 15 × 6 + 25 × 8 + 35 × 4) ÷ 20 = 440 ÷ 20 = 22分です。元の各データを使う平均と一致するとは限りません。中央値は10番目と11番目なので、どちらも20以上30未満の階級にあると判断できますが、正確な中央値は分かりません。

横軸に数値の階級、縦軸に度数を取り、隣り合う長方形を並べます。同じ階級幅なら高さで度数を比較できます。上の表は次の形です。

横軸は通学時間、縦軸は人数です。棒を接して描くことで数値の分布を表します。棒グラフが分類ごとの数量を示すのに対し、ヒストグラムは数値の分布を示します。比較するときは階級の幅や境界もそろえましょう。階級幅が異なる場合は、高さではなく面積が度数に比例するよう、度数密度（度数 ÷ 階級幅）を使います。

一つの山がある分布を単峰性、複数の山がある分布を多峰性といいます。中央付近が多く両端が少ない形は山型です。大きい値の方向にまばらな値が続くと右の裾が長く、小さい値の方向なら左の裾が長い分布です。

ほかから大きく離れた値は外れ値の候補です。入力ミスかもしれませんし、実際の珍しい観測かもしれません。理由を調べずに削除しません。山が二つあるときは、性質の違う集団が混ざっていないかも考えます。

元データ 12, 15, 15, 21, 24, 30 を十の位（幹）と一の位（葉）に分けます。

幹 | 葉
 1 | 2 5 5
 2 | 1 4
 3 | 0
鍵：1 | 2 は12を表す

ヒストグラムと違い、個々の値を残して分布を整理できます。葉は小さい順に並べ、単位や鍵を明記します。

上の表のもとになる、20人の架空の通学時間を考えます。単位は分です。

5, 8, 10, 12, 14, 15, 17, 19, 20, 21,
22, 23, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 35, 38

最小5分、最大38分なので、0以上40未満までの区間があれば全員を含められます。まず10分幅にして、0以上10未満、10以上20未満、20以上30未満、30以上40未満の四つを作ります。

20をどちらの区間に入れるか迷わないように、「下端以上・上端未満」で統一します。もし40分の人がいれば、40以上50未満の階級を追加するなど、全データが入るようにします。

5・8は最初の階級なので2人。10・12・14・15・17・19は次なので6人。20〜29の八つは8人、30〜38の四つは4人です。最後に2 + 6 + 8 + 4 = 20人となることを確認します。

「通学が30分以上の人に案内を配りたい」なら、最後の階級の4人を見ます。「20分未満はどれくらいか」なら最初の2階級を足し、8 ÷ 20 = 40%とします。「どの時間帯が最多か」なら20以上30未満の8人です。最多の階級を、そのまま全員の平均とみなしてはいけません。

A校は20人中8人、B校は50人中15人が20分以上30分未満だったとします。人数だけならB校が多いですが、相対度数はA校8 ÷ 20 = 0.40、B校15 ÷ 50 = 0.30です。

「その時間帯にいる人の割合」を知りたいなら、A校の方が多いと判断します。集団ごとの規模をそろえて分布を比べるために相対度数が必要になります。ただし、20分未満や30分以上の割合が不明なら、これだけで学校全体の通学時間が長い方までは判断できません。

元データの合計は426分なので、正確な平均は426 ÷ 20 = 21.3分です。一方、階級値を使った近似は22分でした。

違いは、例えば5分と8分を両方5分、10分と19分を両方15分として計算したことから生じます。度数分布表は、各人の値ではなく、その区間に何人いるかだけを保存しているからです。

近似が必ず大きめになるわけではありません。各階級内で下側に値が集まるか、上側に集まるかによってずれ方は変わります。元データが使えるなら正確な平均を求め、表しかないときは近似であることを添えます。

この20人を20分幅にまとめると、0以上20未満が8人、20以上40未満が12人の2階級になります。大まかな比較はできますが、20〜30分に多いことと、30〜40分は4人だけであることが見えにくくなります。

逆に、1分幅では階級数が多く、度数0や1の棒ばかりになり、まとまりを見つけにくいかもしれません。細かいほど必ずよいのではなく、データ数や目的に応じて、全体像と細部のバランスを取ります。

分布に二つの山があれば、徒歩とバスなど異なる集団が混ざっている可能性があります。右に長い裾があれば、一部に特に長時間の通学者がいるのかもしれません。形は原因を探す手がかりであり、形だけから原因を断定することはできません。

このように、計算できる数値を増やすだけでなく、「データに残っていない情報を推測で補わない」ことも大切です。

1. 上の通学時間の表で、10分以上30分未満の人数と割合を求めてください。
2. 「30分未満」と「30分以下」は、この表から同じ人数だと判断できますか。
3. 幹が4、葉が0・2・2で、鍵が「4 | 2 = 42」のとき、元の値は何ですか。