4. 標本分布・標準誤差・自由度

工程の標準偏差が2mmなら、独立なn個の平均の標準偏差は $2/\sqrt n$ mmです。平均の変動が小さくなっても、個々の製品のばらつきが小さくなるわけではありません。

$$E(\bar X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n},\qquad SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n}.$$

n＝25ならSE＝0.4mm。SEを半分にするにはnを4倍にします。正の系列相関がある測定を独立と扱うと、平均の不確かさを過小評価することがあります。

独立な正規母集団からの標本では、次の関係が成立します。

統計量	帰無仮説の下での分布	用途
$(\bar X-\mu)/(\sigma/\sqrt n)$	標準正規	母分散既知の平均
$(\bar X-\mu)/(s/\sqrt n)$	$t_{n-1}$	母分散未知の平均
$(n-1)V/\sigma^2$	$\chi^2_{n-1}$	母分散
$(V_1/\sigma_1^2)/(V_2/\sigma_2^2)$	$F_{n_1-1,n_2-1}$	独立な二群の分散比

自由度は、変動を評価する独立な情報の数に関係します。標本平均を推定した後の偏差は合計0なので、n個を自由には動かせません。これが分散でn−1を使う理由です。

大数の法則は、適切な条件で標本平均が母平均へ近付く性質です。中心極限定理は、独立同分布で有限分散などの条件の下、標準化した平均の分布が正規分布へ近付く性質です。元データが正規になるという意味ではありません。強い歪みや極端な尾、依存があるとき、単に「nが30以上」とだけ判断しません。

本コースの $q_p$ は下側累積確率pとなる分位点です。例えば $t_{0.975,9}=2.2622$ とします。上側確率で表示する数表では見出しが0.025になります。同じ確率を別の向きで表しているため、表の見出しと図を先に確認してください。

標本分布と基準分布に対応します。

母標準偏差6、独立なn＝36の平均の標準誤差は？

解答・解説

$6/\sqrt{36}=1$。個々の値の標準偏差は6のままです。