13. 仮説検定

公平な硬貨を100回投げても、表が必ず50回になるわけではありません。同じように、標本平均や標本比率が基準値から少しずれるのは自然です。そこで、基準となる仮説が正しいと仮定したとき、観測した程度以上のずれはどのくらい珍しいかを考えます。

その珍しさをもとに、仮説を見直す根拠があるかを判断するのが仮説検定です。仮説が絶対に正しいか間違いかを確定する手続きではありません。

帰無仮説 $H_0$ は「母平均は50」「母比率は0.5」など、比較の出発点です。対立仮説 $H_1$ は、代わりに考える関係です。

問い	帰無仮説	対立仮説	検定の方向
平均が50と違うか	μ = 50	μ ≠ 50	両側
平均が50より大きいか	μ = 50を基準とする	μ > 50	上側片側
平均が50より小さいか	μ = 50を基準とする	μ < 50	下側片側

有意水準 $\alpha$ は、帰無仮説が正しいのに棄却してしまう誤りを、どの程度まで許すかの基準です。典型例は5%。仮説、方向、水準はデータを見る前に決めます。結果を見て有利な片側検定に変えると、決めた誤りの率を保てません。

独立な無作為標本100個の平均が52.5、母標準偏差が既知で10とします。母集団が正規、または標本平均の正規近似が使えるとし、$H_0:\mu=50$ を有意水準5%の両側検定で考えます。

基準の仮説の下で、標本平均の標準誤差は $10/\sqrt{100}=1$ です。個々の値のばらつき10と、平均のばらつき1を区別します。

$$z=\frac{\bar x-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} =\frac{52.5-50}{1}=2.5$$

基準の平均から標準誤差2.5個分上にあります。$H_0$ の下では、この統計量を標準正規分布で評価できます。

両側5%では標準正規分布の左右2.5%ずつが棄却域なので、$|z|>1.96$ なら棄却します。今回は2.5 > 1.96なので、帰無仮説を棄却します。

p値で考えるなら、$H_0$ の下で2.5以上の絶対値が出る確率です。

$$p\text{値}=2P(Z\ge2.5)\approx0.0124$$

約1.24%で有意水準5%より小さいため、同じ判断になります。p値は「帰無仮説が正しい確率1.24%」ではありません。

「今回の条件の下で、母平均50という仮説は両側5%で棄却された。母平均が50と異なることを示す統計的な根拠が得られた」と書けます。「平均が必ず52.5」「処理が原因」「実用上も大きな差」とまでは言えません。

独立に無作為抽出した400人中220人が賛成でした。$\hat p=0.55$。母比率pが0.5かを、両側5%で検定します。帰無仮説の下の成功・失敗の数が十分大きいので、正規近似を使います。

$$z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}} =\frac{0.55-0.50}{\sqrt{0.5\times0.5/400}}=2$$

2 > 1.96なので棄却します。両側p値は約0.0455です。推定のときは未知のpの代わりに $\hat p$ で標準誤差を推定しましたが、検定では仮定した $p_0$ を分母に使う違いがあります。

もし標本が100人で55人の賛成なら、同じ55%でもz = 1となり、5%では棄却されません。割合だけでなく標本の大きさも判断に関係します。

上側片側5%なら臨界値は約1.645です。大きい側だけを調べるので、両側とは棄却域が異なります。下側片側ならz < −1.645が基準です。

母平均50より大きいことを調べる上側検定で、非常に小さな平均が出ても、それは上側の対立仮説を支持する結果ではありません。「差がある」と「指定した方向に差がある」を区別しましょう。

「帰無仮説を棄却しない」は、「今回のデータでは棄却する根拠が十分ではない」という意味です。母平均が厳密に基準と同じだと証明したわけではありません。人数が少ない、ばらつきが大きいなどで、違いを見つけにくい場合もあります。

帰無仮説が正しいのに棄却するのが第1種の誤り、偽なのに棄却しないのが第2種の誤りです。検定力は、想定した対立仮説の下で偽の帰無仮説を棄却できる確率です。有意水準5%は、得られた結論が5%の確率で誤りという意味ではありません。

例題1の母平均の95%信頼区間は52.5 ± 1.96 = 50.54〜54.46です。50を含まないことは、同じ前提と方法による両側5%検定で棄却することと対応します。異なる近似方法では境界付近の判断が一致しない場合があるので、同じ方法で比べます。

母分散が未知で小標本の場合は、正規母集団などの条件の下でt分布を使います。少人数の比率では二項分布による正確な評価などが必要になり、いつでもz検定を使えるわけではありません。

また、標本が非常に大きいと、ごく小さな差でも有意になることがあります。差の大きさ、信頼区間、調査の偏り、実際の判断で重要な差かを一緒に報告しましょう。

1. 母平均100、母標準偏差が既知で12、n = 36、標本平均105ならzはいくつですか。両側5%ではどう判断しますか。
2. p値が0.08なら有意水準5%で棄却しますか。帰無仮説が正しいと証明できますか。
3. 母比率の検定で分母の標準誤差に入れるのは、標本比率と帰無仮説の比率のどちらですか。

解答・解説

1. 標準誤差12/6 = 2、z = (105 − 100)/2 = 2.5。絶対値が1.96を超えるので棄却します。
2. 棄却しません。正しいと証明したのではなく、5%で棄却する根拠が足りないと判断します。
3. 帰無仮説の比率 $p_0$ です。その仮説の下で、観測したずれの珍しさを計算するためです。