3. 変数間の関連

広告費と売上に正の相関があっても、大きな店舗ほど両方の値が大きいだけかもしれません。関連を調べるときは、二つの数値を一度にまとめるだけでなく、店舗規模などで層別し、見かけの関係を確認する必要があります。

関連の数値化と、関連が生まれる背景の検討を組み合わせるのがこの章の目的です。基本の散布図・相関係数の具体例は3級の相関で確認できます。

本コースでは標本共分散を、

$$s_{xy}=\frac1{n-1}\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y),\qquad r_{xy}=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}$$

とします。共分散は同じ方向に平均から離れると正、違う方向なら負の積を足します。単位に依存するため、二つの標準偏差で割って相関係数にします。

xを1・2・3・4・5、yを2・4・5・4・5とすると、偏差の積和6、xの偏差の2乗和10、yは6です。したがって共分散6/4 = 1.5、分散2.5と1.5、相関は $1.5/\sqrt{2.5\times1.5}\approx0.775$。分母nでそろえても、相関係数は同じになります。

相関係数は−1〜1で、直線的な関係を測ります。0でもU字型などの関係がないとは限りません。正の定数倍や平行移動では変わらず、片方を負の定数倍すると符号が反転します。標準偏差0なら定義できません。

広告費X・売上Y・店舗規模Zの相関が次のようだったとします。

	X	Y	Z
X	1	0.8	0.6
Y	0.8	1	0.5
Z	0.6	0.5	1

対角は自分自身との相関なので1、行と列を入れ替えても同じ値です。各組の関連を一覧にできます。ただし、どの組も同じ対象で計算されているか、欠測で人数が違っていないかも確認します。

Zとの直線的な関係を取り除いたX・Yの残差同士の相関が、Zを制御した偏相関です。一つの制御変数なら、

$$r_{XY\cdot Z}=\frac{r_{XY}-r_{XZ}r_{YZ}} {\sqrt{(1-r_{XZ}^2)(1-r_{YZ}^2)}}$$

です。上の値を使うと、分子0.8−0.6×0.5 = 0.5、分母 $\sqrt{0.64\times0.75}$ なので、約0.722です。単純な相関0.8より小さくなりました。

ただし「店舗規模を一定にした広告の因果効果が0.722」という意味ではありません。ここで取り除いているのは直線的な関連で、他の交絡や選択の偏りは残り得ます。また、どんな変数でも制御すればよいわけではありません。問いと因果関係の考え方に基づいて変数を選びます。

小規模店と大規模店を別の記号で描き、集団内の傾向と全体の傾向を比べます。全体では右上がりでも、各規模の中ではほぼ横ばいという場合があります。

第三の要因が両方に関係して生じる見かけの相関や、集団の構成が違うことで生じる関連に注意します。相関があることと、一方を変えれば他方が変わることは別です。比較設計は調査と実験に戻って確認しましょう。

二つの質的変数には、度数表・2元クロス表を使います。A店は100人中30人、B店は60人中24人が購入したなら、購入人数はAが多く、購入率はA30%・B40%でBが高いと分かります。

「購入した人の中のB店の割合」なら24/54で、B店内の購入率24/60とは分母が違います。関連があるかの検討には独立性の検定を使います。集団サイズが違うときに人数だけで結論づけないことは、量的変数の相関と同じく、比較の土台を確かめる作業です。

1. 共分散12、標準偏差3と8のとき、相関係数はいくつですか。
2. xだけを−2倍すると相関係数はどうなりますか。
3. 偏相関が正なら因果関係が証明されたと言えますか。

解答・解説

1. 12/(3×8) = 0.5です。
2. 大きさは変わらず符号が反転します。
3. 言えません。制御した変数以外の要因や、関連の形、対象の選ばれ方も考える必要があります。