3. 連続分布・生存関数・ハザード

寿命は非負、割合は0〜1、測定誤差は正負を取ります。分布はデータの取り得る値と生成機構を表します。見た目だけで正規分布を選ばず、支持域・裾・ハザードを確認しましょう。

分布	密度・定義	用途・特性
一様 $(a,b)$	$1/(b-a)$	区間内を等しく扱う。分散 $(b-a)^2/12$
正規	$e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}/\sqrt{2\pi\sigma^2}$	加法的な誤差。平均 $\mu$、分散 $\sigma^2$
指数：率 $\lambda$	$\lambda e^{-\lambda x}$、$x>0$	無記憶性。平均 $1/\lambda$
ガンマ：形 $a$、率 $b$	$b^ax^{a-1}e^{-bx}/\Gamma(a)$	待ち時間の和。平均 $a/b$、分散 $a/b^2$
ベータ	$x^{a-1}(1-x)^{b-1}/B(a,b)$、$0<x<1$	割合。平均 $a/(a+b)$
コーシー：標準形	$1/\{\pi(1+x^2)\}$	重い裾。平均と分散は存在しない
対数正規	$\log X\sim N(\mu,\sigma^2)$	乗法的変動。中央値 $e^\mu$、平均 $e^{\mu+\sigma^2/2}$
ワイブル：形 $k$、尺度 $\eta$	$(k/\eta)(x/\eta)^{k-1}e^{-(x/\eta)^k}$	形により故障率が減少・一定・増加
ロジスティック：位置 $m$、尺度 $s$	$F(x)=1/(1+e^{-(x-m)/s})$	対称で正規より裾が重い。分散 $\pi^2s^2/3$

ガンマの「率」と「尺度」は逆数です。$\Gamma(a)=\int_0^\infty t^{a-1}e^{-t}dt$、$B(a,b)=\Gamma(a)\Gamma(b)/\Gamma(a+b)$ が正規化定数になります。

非負寿命 $T$ の生存関数は $S(t)=P(T>t)=1-F(t)$、ハザードは $h(t)=f(t)/S(t)$。条件付き確率

$$P(t<T\le t+\Delta\mid T>t)\approx h(t)\Delta$$

と解釈します。$S(t)=\exp[-\int_0^t h(u)du]$ なので、指数分布は一定ハザード、ワイブルは $h(t)=(k/\eta)(t/\eta)^{k-1}$ です。ハザードは確率そのものではなく、時間の逆数の単位を持ちます。

ワイブル $k=2,\eta=100$ 時間なら、$S(100)=e^{-1}\approx0.3679$、$h(100)=0.02$/時間。使用時間に比例して故障率が上がるモデルです。同じ $S(100)$ の指数分布では率0.01で、ハザードはいつでも0.01。100時間時点の生存割合が同じでも、その後の振る舞いは違います。

対数寿命が $N(0,1)$ のとき、平均寿命を1とする判断は正しいか？

解答・解説

1は中央値です。平均は $e^{1/2}\approx1.6487$。一般に $E(e^Z)\ne e^{E(Z)}$ で、非線形変換と期待値の順序は交換できません。