8. 平均・範囲・ばらつき

規定量を100gとする袋詰めで、Aは99、100、101g、Bは90、100、110gだったとします。どちらの平均も100gですが、Bは大きくばらつきます。お客様へ個別に渡るものの品質を考えると、中心だけでなく不ぞろいにも注目する必要があります。

データ数を $n$、各値を $x_i$ とすると、算術平均は合計を個数で割ります。範囲 $R$ は最大値から最小値を引きます。

$$\bar x=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n},\qquad R=x_{\max}-x_{\min}.$$

上の例ではAの範囲は2g、Bは20g。平均も範囲も元の量と同じ単位です。範囲は両端だけを使う簡単な指標で、値の並び全体や標本数の影響をすべて表すものではありません。

5件の準備時間が8、9、10、11、12分なら、合計50分、平均10分、範囲4分です。同じ平均10分の9、10、10、10、11分では、範囲2分となり、時間がそろっています。

ただし「範囲が小さい方が常に良い」とも限りません。全件20分にそろっていても目標10分なら問題です。目標との位置関係とばらつきの両方を見ます。データを取った順番も残し、時間とともに悪化していないかをグラフで調べます。

午前10件の平均が6分、午後30件の平均が10分なら、全体平均は単純な $(6+10)/2=8$ 分ではありません。

$$\bar x=\frac{10\times6+30\times10}{10+30}=9\text{分}.$$

データ数で重みを付ける必要があります。別の期間を比べるときも、仕事の難しさや構成が変わっていれば、全体平均だけで原因を判断しません。

1. 値と単位がそろっているかを見る。
2. 元データの個数・合計・最大最小を確認する。
3. 最後に平均・範囲を計算し、過剰な桁で報告しない。
4. 分布や時系列、測定条件と合わせて意味を考える。

ばらつきには分散や標準偏差など別の尺度もありますが、このコースの基本計算は平均と範囲です。詳しい散らばりの指標は統計検定3級で学べます。

値4、5、6、7、18の平均と範囲を求め、平均だけの報告の弱点を述べてください。

解答・解説

合計40、平均8、範囲14です。多くの値は4〜7にあり、18が平均を引き上げています。18の記録・条件を確かめ、元データや分布も示します。単に削除はしません。