20. 相関・大波と小波の関係

相関係数は直線的な関係の強さと向きを表します。外れ値、曲線、群の混合があれば、一つの数値だけでは不十分です。xとyが同じ対象・同じ時刻に対応しているかも確かめます。

$$S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2,\quad S_{yy}=\sum(y_i-\bar y)^2, \quad S_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y),\quad r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}.$$

どちらかの変数がすべて同じなら分母が0になり、相関係数は定義できません。

組が(1,2),(2,1),(3,4),(4,3),(5,5)なら両平均3、$S_{xx}=10,S_{yy}=10,S_{xy}=8$。よってr＝0.8です。正の直線関係がありますが、xを操作すればyが必ず増えるという証明ではありません。

長期間の温度と不適合品率が一緒に上がると、全体の相関が高くなることがあります。しかし両方が季節や生産量の変化を反映しているだけかもしれません。大きな時間変動の関係と、近い時点の小さな変動の関係を分けて調べます。

時間順の $x=[1,2,3,4,5]$、$y=[1,3,2,5,4]$ は全体のr＝0.8です。一階差分は $\Delta x=[1,1,1,1]$、$\Delta y=[2,-1,3,-1]$。差分xの分散が0なので、差分の相関は定義できません。元の高い相関を、短期の変化にも同じように当てはめられない例です。

差分の散布図や、時間帯・品種別の散布図も補助に使います。差分化は時系列の見方を変える操作であり、いつでも因果を取り出せる方法ではありません。また同じ変数の時間をずらした値同士の関連である自己相関とも区別します。

因果を検討するなら、第三の要因、逆向きの関係、測定方法の共通性を調べ、可能なら設計した実験で確認します。母相関係数の検定・区間推定の詳細は、公式手法マトリックス上の2級の中心計算とは分け、発展学習にします。

3級の相関、時系列、関連の解釈へつなげます。

Sxx＝16、Syy＝25、Sxy＝−10の相関係数は？

解答・解説

$r=-10/\sqrt{16\times25}=-0.5$です。符号は積和が決めます。