19. 二元配置・交互作用

温度を上げたときの変化が材料の種類で違うなら、温度と材料に交互作用があります。主効果だけで「温度は高い方がよい」とまとめると、材料によっては逆の結果になるかもしれません。

反復のある固定効果モデルは $Y_{ijk}=\mu+\alpha_i+\beta_j+(\alpha\beta)_{ij}+\varepsilon_{ijk}$。各組合せr反復の均衡配置では、平方和をA、B、交互作用AB、誤差Eへ分けます。

条件	B1の測定値（平均）	B2の測定値（平均）
A1	9, 11（10）	19, 21（20）
A2	19, 21（20）	19, 21（20）

全体平均17.5、Aの平均は15と20、Bも15と20。B1ではAを変えると10増え、B2では0です。差の差10が交互作用の存在を考える手掛かりになります。

$$S_A=br\sum_i(\bar y_{i..}-\bar y_{...})^2,\quad S_B=ar\sum_j(\bar y_{.j.}-\bar y_{...})^2,$$ $$S_{AB}=r\sum_{i,j}(\bar y_{ij.}-\bar y_{i..}-\bar y_{.j.}+\bar y_{...})^2.$$

誤差平方和は各測定値とそのセル平均の偏差平方和です。本例は各セルで2なので、合計8です。

要因	平方和	自由度	平均平方	F
A	50	1	50	25
B	50	1	50	25
AB	50	1	50	25
E	8	4	2	—
合計	158	7	—	—

自由度はAがa−1、Bがb−1、ABが(a−1)(b−1)、Eがab(r−1)。正規・独立・等分散の誤差を仮定すると、各F値25は $F_{0.95,1,4}=7.7086$ を超えます。交互作用を踏まえ、組合せごとに判断します。

• B1（実線・丸）
• B2（破線・丸）

図の数値を表で確認する

Aの水準	B1の平均	B2の平均
A1	10	20
A2	20	20

独自の学習用データ・理論例。図と数値表はJavaScriptを使わずに表示されます。

反復ありの本例で、A1・B1の母平均を推定する値はセル平均10です。誤差分散の推定値は2、反復数2なので標準誤差は $\sqrt{2/2}=1$。事前に定めたこの一つの組合せについて、95%信頼区間は $10\pm t_{0.975,4}\times1$、約[7.224, 12.776]です。多数のセルを同時に評価する区間とは区別します。

各セル1観測では、交互作用と純粋な誤差を独立に分けられません。交互作用なしを仮定して残差を誤差として扱う場合、誤差自由度は(a−1)(b−1)ですが、その仮定が必要です。反復ありの表から誤差行だけを消して同じ検定はできません。

小さい要因の平方和・自由度を誤差へ合併するプーリングは、無視できる効果という技術的判断と解析方針が必要です。有意にしたい要因に合わせて都合よく合併しません。候補条件での追試と、条件外への適用範囲を確認します。

分散分析と線形モデルでモデルを復習します。

Aが3水準、Bが2水準、各セル4反復。ABと誤差の自由度は？

解答・解説

ABは(3−1)(2−1)＝2、誤差は3×2×(4−1)＝18です。