3. 選好・効用と消費者の最適化

顧客は限られた所得を、複数の商品へどう配分するのでしょうか。消費者理論は、好みと予算を分けて考え、価格や所得が変わったときの選択を分析する枠組みです。管理会計で採算のよい商品を見つけても、それが顧客の選択に合うかは別途考える必要があります。

通常の選好理論では、2つの組合せを比較できる完備性と、比較に一貫性がある推移性を仮定します。効用関数は好みの順位を表します。効用が20の人は10の人の2倍幸福、という意味ではなく、通常は人と人の効用も直接比較しません。単調増加変換した関数は同じ順位を表せます。

無差別曲線は同じ効用を与える財の組合せです。横軸を $x$、縦軸を $y$ とすると、限界代替率（正の値で定義）は $MRS=MU_x/MU_y$。効用を保ちつつ $x$ を1単位増やすために、どれだけ $y$ を手放せるかを表します。

効用を $U(x,y)=xy$、価格を $p_x=100$ 円、$p_y=200$ 円、所得を $m=1{,}200$ 円とします。財は連続量として扱い、両財を多く持つ方を好むので、予算を使い切ります。

$$\max_{x,y\geq0}xy\quad\text{subject to}\quad100x+200y=1{,}200$$

内点の接点では、

$$\frac{MU_x}{MU_y}=\frac{y}{x}=\frac{100}{200}=\frac12 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{x}{2}$$

予算式へ代入すると $200x=1{,}200$ なので、$x=6$、$y=3$、効用18です。ラグランジュ関数 $\mathcal L=xy+\lambda(1{,}200-100x-200y)$ の一階条件からも同じ結果になります。

• 青実線：予算線 y＝6−x/2
• 橙破線：無差別曲線 y＝18/x
• 点：最適束（6,3）

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

x（単位）	予算線のy（単位）	効用18のy（単位）
3	4.5	6
4	4	4.5
6	3	3
8	2	2.25
12	0	1.5

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

この解が最大であることは、予算式を使った $U(x)=6x-x^2/2$ の二階微分が $-1$ であることから確認できます。接点条件だけを機械的に使わず、実現可能性と最大・最小を確認します。

同じ問題を「効用18以上を、最小の支出で得る」と考えるのが支出最小化です。$y=18/x$ を使うと支出は $E=100x+3{,}600/x$。微分して $100-3{,}600/x^2=0$ より、同じ $x=6,y=3$、最小支出1,200円を得ます。これを価格と目標効用の関数にしたものが支出関数です。

ただし、完全代替財 $U=x+y$ なら、安い $x$ だけを12単位買う端点解です。完全補完財 $U=\min(x,y)$ なら折れ曲がりの $x=y=4$ が最適です。微分できる接点が存在するとは限りません。

顧客が何と何を代替・補完として捉えるかは、品ぞろえやセット販売を考える土台になります。ただし効用関数は仮定です。実際の購買データ、調査、実験などで確認し、顧客の行動を断定しないようにします。

同じ効用 $xy$ と価格で所得だけが2,400円になったとき、最適な数量と効用はいくらですか。

解答・解説

接点では $y=x/2$。$100x+200(x/2)=2{,}400$ より $x=12,y=6$、効用72です。数量は2倍ですが、効用数値の4倍を幸福の4倍とは解釈しません。

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