9. 最強力検定・尤度比・検出力

有意水準を小さくするだけなら、何も棄却しない検定で達成できます。必要なのは、第一種過誤を制御しつつ、重要な対立仮説の下で棄却する確率（検出力）を高くすることです。p値は帰無仮説の正しさの確率でも、効果の大きさでもありません。

単純仮説 $H_0:f_0$ と $H_1:f_1$ の比較では、$f_1(\boldsymbol x)/f_0(\boldsymbol x)>c$ の領域を棄却域にすると、水準を制約した中で最強力になります（ネイマン・ピアソンの補題）。等号部分で無作為化が必要な場合もあります。

$X_i\sim N(\mu,1)$、$H_0:\mu=0,H_1:\mu=\delta>0$ なら尤度比の対数は $n\delta\bar X-n\delta^2/2$。$\bar X$ に単調増加なので、水準0.05の棄却域は $\sqrt n\bar X>1.6449$。

$$\pi(\mu)=1-\Phi(1.6449-\sqrt n\mu).$$

$\mu=0$ で0.05、$n=25,\mu=0.5$ で約0.8038。第二種過誤は約0.1962です。このモデルではすべての $\delta>0$ に同じ形の検定が最強力なので、片側の複合対立に対しても一様最強力になります。両側問題では同じ結論は一般に成り立ちません。

• 青実線：n＝10
• 橙破線：n＝25
• 灰色点線：有意水準0.05

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

真の平均μ	n＝10の検出力	n＝25の検出力
0	0.05	0.05
0.2	0.155674	0.259511
0.4	0.351994	0.63876
0.5	0.474599	0.803765
0.6	0.599678	0.912314
0.8	0.811913	0.990742
1	0.93542	0.999603

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

正則な1母数モデルで $H_0:\theta=\theta_0$ を検定すると、次は帰無仮説の下で漸近的に $\chi^2_1$ に従います。

$$\begin{aligned} D&=2\{\ell(\hat\theta)-\ell(\theta_0)\},\\ W&=(\hat\theta-\theta_0)^2I_n(\hat\theta),\\ S&=U_n(\theta_0)^2/I_n(\theta_0). \end{aligned}$$

尤度比は2つの最適値、Waldは推定値からの距離、スコアは帰無値での傾きを使います。有限標本では一致しません。成功8/10で $p_0=0.5$ なら $D\approx3.8549,W=5.625,S=3.6$。境界や少数例では、正確検定やシミュレーションによる較正も検討します。

片側水準 $\alpha$、検出したい差 $\delta$、既知標準偏差 $\sigma$ に対し、検出力 $1-\beta$ を確保する近似標本数は $n\ge\{(z_{1-\alpha}+z_{1-\beta})\sigma/\delta\}^2$。差0.5、$\sigma=1$、水準5%、検出力80%なら切り上げて25です。データを見た後の「観測された検出力」より、設計時の差の根拠と区間幅が重要です。

検出力0.8とは、帰無仮説が80%の確率で誤っているという意味か？

解答・解説

違います。指定した対立仮説が真のときに、検定が棄却する確率です。効果量・標本数・有意水準によって変わります。