6. 一つの母平均の検定と推定

寸法の基準を $\mu_0=100$ mmとして、工程平均が変化したかを調べます。時間順の安定性と測定条件を先に確認します。正規母集団からの独立な標本で、母標準偏差が既知なら

$$Z=\frac{\bar X-\mu_0}{\sigma/\sqrt n},\qquad \bar x\pm z_{0.975}\frac{\sigma}{\sqrt n}$$

が両側検定統計量と95%信頼区間です。$z_{0.975}\approx1.9600$。過去に標準偏差を測定したというだけで、母分散を厳密に既知とみなせるとは限りません。

標本から $s=\sqrt V$ を求める場合は

$$T=\frac{\bar X-\mu_0}{s/\sqrt n},\quad \nu=n-1,\qquad \bar x\pm t_{0.975,\nu}\frac{s}{\sqrt n}.$$

t分布は標準偏差の推定の不確かさを反映します。小標本では正規性の条件が重要で、強い外れ値があるときはデータ収集過程も確認します。

n＝10、標本平均101.2mm、s＝1.5mmとします。100mmとの両側5%検定では

$$SE=\frac{1.5}{\sqrt{10}}=0.47434,\qquad t=\frac{1.2}{0.47434}=2.5298.$$

自由度9の限界2.2622を超えるため棄却します。95%信頼区間は

$$101.2\pm2.2622\times0.47434=[100.127,\ 102.273]\text{ mm}.$$

これは平均の区間であり、全製品の適合を保証する区間ではありません。規格との適合評価には個々のばらつきも必要です。

「平均が上がったか」の片側5%検定は、上側5%の限界を用います。両側の2.5%点を流用しません。母標準偏差既知で95%区間の半幅をd以下にしたい場合、計画上の目安は $n\ge(1.96\sigma/d)^2$ で、整数へ切り上げます。独立性や対象集団の偏りは、この式では解消できません。

1標本の検定と推定で片側・両側を練習します。

母標準偏差2が既知、n＝25、平均100.8、基準100のz値は？

解答・解説

$z=0.8/(2/5)=2$。両側5%なら1.96を超えるため棄却します。