13. 2母集団の区間推定

何のために「差」の区間を作るのか

店舗AとBの平均が違っていても、どちらも抽出により変動します。二つの推定値の違いを評価するには、差や比そのものの不確実さを求めます。各群の区間が重なっているかだけで判断しないようにします。

まず独立した二群か、同じ人の前後などの対応ありかを区別します。母平均の差は一貫してμ1−μ2、比はσ1²/σ2²とし、向きを明示します。

独立な正規標本、または適切な正規近似の下で、

(\bar x_1-\bar x_2)\pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}

です。分散は差でも足します。例としてn1 = n2 = 25、既知分散9と16、平均差2なら、SE = √(9/25+16/25) = 1。95%区間は0.04〜3.96です。

各群が正規で独立、母分散が等しいという前提の下で、共通分散をプールします。

s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}

区間は差 ± $t_{n_1+n_2-2,1-\alpha/2}s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}$ です。各分散をその自由度で重み付けするので、単純平均とは限りません。

n1 = n2 = 10、平均21と19、分散4と4なら、プール分散4、SE = √0.8 ≈ 0.894。自由度18、95%のt点約2.101より、2 ± 1.879 = 0.121〜3.879です。

観測した差2に加えて不確実さを示せます。0を含まないことは、同じ前提の両側5%検定で差0を棄却することと対応します。

SEは $\sqrt{s_1^2/n_1+s_2^2/n_2}$ 、tの近似自由度は、

\nu\approx\frac{(s_1^2/n_1+s_2^2/n_2)^2} {(s_1^2/n_1)^2/(n_1-1)+(s_2^2/n_2)^2/(n_2-1)}

です。区間は差 ± tν,1−α/2 × SE。自由度は整数とは限りません。表しかない場合は、問題で指定された丸め方や近似を使います。

n1 = 10、n2 = 20、平均21と19、分散4と16なら、SE = √1.2 ≈ 1.095、ν ≈ 27.98。95%区間は約**−0.244〜4.244**となります。例題1とは標本サイズも分散も違うため、「手法を変えただけで区間が変わった」比較ではない点も確認してください。

正規性が大きく崩れ、少人数で外れ値が強い場合などはWelchでも無条件に問題が解消するわけではありません。

同じ5人の改善前後の差が 1,2,1,3,3 なら、差の平均2、標本分散1、SE = 1/√5です。差が独立な正規標本とみなせる条件で、自由度4のtを使います。

95%区間は2 ± 2.776/√5、約0.758〜3.242。前後を独立二群として扱うのではなく、各人の差の分散を使います。前後の共分散の情報が差に反映されるからです。

独立な正規二群で、ν1 = n1−1、ν2 = n2−1とします。

\left[ \frac{s_1^2/s_2^2}{F_{\nu_1,\nu_2,1-\alpha/2}}, \frac{s_1^2/s_2^2}{F_{\nu_1,\nu_2,\alpha/2}} \right]

です。n1 = n2 = 10、分散9と4なら比2.25、自由度9・9。95%区間は約0.559〜9.058で、1を含みます。分散比が2.25と大きく見えても、標本が小さいと不確実さも大きいと分かります。平均差での基準0と違い、分散比で「等しい」を表す基準は1です。

独立な二群で成功・失敗が十分多いとき、

(\hat p_1-\hat p_2)\pm z_{1-\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat p_1(1-\hat p_1)}{n_1}+\frac{\hat p_2(1-\hat p_2)}{n_2}}

です。各200人中120人と90人が賛成なら、差0.15、SE ≈ 0.04937、95%区間は約0.0532〜0.2468。5.32〜24.68パーセントポイントの差です。

等しい比率という帰無仮説の検定では、分母にプール比率を使うことがあります。区間推定と検定の分母を機械的に同じにしないようにします。

解答・解説