14. 分割表・正確検定・対応データ

カテゴリの関連を調べるとき、「別々の人を比べた表」か「同じ人の前後をまとめた表」かで検定は変わります。割合だけでなく分母、対応、抽出方法を明らかにします。

独立性の下では $E_{ij}=n_{i+}n_{+j}/n$。Pearson統計量 $X^2=\sum(O_{ij}-E_{ij})^2/E_{ij}$ は、大標本で自由度 $(r-1)(c-1)$ のカイ二乗に近づきます。適合度検定はカテゴリ数 $k$ に対し、同じデータから推定した独立な母数の数 $d$ を引いて自由度 $k-1-d$。期待度数が極端に小さい場合には近似を点検します。

表が上段 $(1,9)$、下段 $(8,2)$ なら、合計20、行合計10ずつ、第1列合計9です。独立の帰無仮説で左上の度数 $A$ は

$$P(A=a\mid\text{周辺度数})=\frac{\binom9a\binom{11}{10-a}}{\binom{20}{10}}.$$

観測値1の確率は約0.002679。Fisherの両側検定で「この確率以下」の表をすべて足すと約0.005477です。両側の定義を明記し、片側の方向は観測前に決めます。Yatesの連続修正は2×2表の $|O-E|$ を0.5だけ減らす近似補正で、Fisher検定そのものではありません。

同じ100人の前後について、陰性→陽性が12、陽性→陰性が3なら、周辺割合の同等性は不一致ペアで調べます。

$$X_M^2=\frac{(12-3)^2}{12+3}=5.4.$$

大標本で $\chi^2_1$。少数なら、不一致15ペアの変化方向が確率1/2という二項検定を使います。両側正確p値は $2P\{\mathrm{Bin}(15,0.5)\le3\}\approx0.03516$。一致した85人を独立2標本の情報として数えないことが重要です。

オッズ比は $ad/(bc)$、CramérのVは $\sqrt{X^2/[n\min(r-1,c-1)]}$。有意性と関連の強さは別です。Pearson残差 $(O-E)/\sqrt E$ はどのセルがずれたかを示しますが、周辺推定の影響を考慮した調整済み標準化残差とは違います。

セル件数をポアソンとみなす対数線形モデル $\log E_{ij}=\mu+\alpha_i+\beta_j$ は独立モデル。交互作用項が関連を表します。順序カテゴリは順序を無視して情報を落とさず、累積ロジットなども選択肢です。

同一対象の前後で独立性のカイ二乗検定をすると何を取り違えるか？

解答・解説

前後の関連と、前後で陽性率が変化したかは異なる問いです。周辺割合の変化ならMcNemarを使い、同じ対象である対応を保持します。