17. 適合度・独立性の検定

3分類の件数が30・20・10だったとき、均等な割合と比べて違うのでしょうか。二つの店の購入率が違うとき、店と購入の有無に関連があると言えるでしょうか。

χ²検定は、帰無仮説から計算した期待度数と、観測された度数のずれを評価します。単なる割合ではなく、標本の大きさも判断に入ります。

$$Q=\sum\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$$

Oは観測度数、EはH0の下での期待度数です。ずれを2乗するのでQは非負で、大きいほどH0から離れます。大きい側の裾を使います。各対象を重複なく数え、観測が独立で、期待度数が十分あるなどの条件が必要です。

60件の分類がA30・B20・C10でした。H0は各分類の確率が1/3。期待度数は各20です。

分類	O	E	(O−E)²/E
A	30	20	5
B	20	20	0
C	10	20	5
合計	60	60	10

• 左・青：観測
• 右・橙：均等なら期待する件数

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

分類	観測度数	期待度数
A	30	20
B	20	20
C	10	20

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

確率が事前に指定されたk分類なら自由度k−1で、ここでは2。上側5%点は約5.991なので10は棄却域、p ≈ 0.00674です。今回の件数は均等という仮説から離れていると判断します。

分布のパラメータを同じデータからm個推定した場合は、適切な条件の下で自由度がk−1−mになります。例えばデータから推定したポアソン平均を使う場合、最初から確率が完全に指定された検定と同じ自由度にはしません。

独立な100人の来店者について、次の結果を得たとします。

店	購入あり	購入なし	合計
A	30	20	50
B	20	30	50
合計	50	50	100

H0は店と購入が独立。各セルの期待度数は、

$$E_{ij}=\frac{\text{行合計}_i\times\text{列合計}_j}{\text{全体}}$$

なので、すべて50×50/100 = 25です。各セルの寄与は25/25 = 1、Q = 4。自由度は(行数−1)(列数−1) = 1です。

上側5%点約3.841より大きく、連続修正をしないPearsonのχ²検定ではp ≈ 0.0455で棄却します。購入率はA60%、B40%で、今回のデータでは店と購入に関連を示す根拠があります。ただし接客の因果効果とまでは言えません。

k分類では合計件数が決まれば、最後の分類の件数は残りから決まるのでk−1です。r×cのクロス表では、行・列合計の制約を考えると(r−1)(c−1)になります。

3行4列なら自由度6。セル数12をそのまま自由度にしないようにします。期待度数も、行割合をすべて同じと決めつけず、実際の行・列合計から計算します。

χ²分布への近似は、期待度数が小さいセルが多いと不正確になり得ます。「各セルで5程度以上」などはよく使われる目安ですが、表の構造も考えます。意味を保ってカテゴリをまとめる、2×2表なら正確な方法を検討するなど、状況に合う方法が必要です。

割合を100倍した値を、人数のように代入してはいけません。同じ割合でも人数が違えば検定結果が変わるためです。また有意でも、どのセルのずれが大きいか、実際の割合の差がどれくらいかを別に確認します。

2×2表で連続修正なしの独立性検定と、独立二群の比率差0の両側z検定は、Q = z²として対応します。ソフトの修正設定が違うと結果も変わるため、出力の方法名を確認してください。

1. 4分類の確率が事前指定された適合度検定の自由度はいくつですか。
2. 3×4表の独立性検定の自由度はいくつですか。
3. 行合計40、列合計30、全体100のセルの期待度数はいくつですか。

解答・解説

1. 3です。パラメータを同じデータから推定した場合は調整が必要です。
2. (3−1)(4−1) = 6です。
3. 40×30/100 = 12です。