28. 理工学：直交表・交絡・線形推測

因子が多いと完全実施要因計画の実験数は急増します。一部実施要因計画は、重要度の低い高次交互作用などを無視する仮定で実験を減らします。直交していることは、すべての効果を別々に推定できるという意味ではありません。

3因子を $-1,+1$ で符号化し、$C=AB$ を満たす4条件だけ実施します。

実験	A	B	C＝AB
1	−1	−1	+1
2	+1	−1	−1
3	−1	+1	−1
4	+1	+1	+1

列は互いに直交しますが、$I=ABC$ より $A=BC,B=AC,C=AB$。Aの主効果とBC交互作用は同じ列になり、分離できません。これがalias（別名）関係です。応答が順に10、14、12、20なら、A高水準平均17、低水準平均11なので差は6。ただしA単独の効果と読むにはBCが無視できる必要があります。

直交表は因子水準をバランスよく配置する道具です。どの交互作用がどの列に割り付くかを確認し、必要なら追加実験で別名を解きます。ブロックへ効果を意図的に交絡させる場合も、何を推定できなくしたかを明示します。

独立な群平均に対する対比 $L=\sum c_i\bar Y_i$（$\sum c_i=0$）は、等分散なら $\operatorname{Var}(L)=\sigma^2\sum c_i^2/n_i$。2群各5反復、分散4、係数 $(-1,1)$ ならSEは $\sqrt{4(1/5+1/5)}\approx1.2649$。正規誤差の下では残差分散を代入しtで推測します。共通誤差やブロックがあれば共分散項も必要です。

行列による線形制約のF検定は線形モデル、多変量正規と固有値は変数変換・主成分へ。数学上の式と、どの実験単位が独立かという設計をつなげます。

特定の材料水準を比較する固定効果と、ロット間変動を推定する変量効果では期待平均平方が異なります。混合モデルは両方を含み、ロット内の相関を表せます。同じロットから多数試料を取っても、独立なロット数の不足は補えません。

多数の観測でMLEの漸近正規性を使うときも、独立な情報がどの単位で増えているかを確認します。デルタ法は推定した速度や寿命の逆数などのSEに使えますが、境界や識別不能な母数では通常の近似が成立しない場合があります。

上の4実験を各1回だけ測り、切片とA/B/Cを当てはめたら、誤差の自由度は？

解答・解説

観測4、母数4なので0です。残差から誤差分散を推定できません。反復や効果のプーリングには、それぞれ独立性や効果を無視できる根拠が必要です。