19. 分散分析と実験計画

3種類の教材を比べるとき、各組のt検定を繰り返すと、全体として誤って違いを見つける機会が増えます。一元配置分散分析は、群の平均同士の違いを、同じ群の中のばらつきと比較する方法です。

H0はすべての母平均が等しい、H1は少なくとも一つが異なることです。棄却しても、どの組同士が違うかは直ちには分かりません。

群	観測値	人数	平均
A	4,5,6	3	5
B	6,7,8	3	7
C	8,9,10	3	9

• 青点：観測値
• 橙の横線：各群平均
• 灰色破線：全体平均7

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

群	観測値	平均
A	4, 5, 6	5
B	6, 7, 8	7
C	8, 9, 10	9

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

独立な観測、各群の誤差の正規性と等分散を基本の前提とします。同じ人が3条件を受けた場合は独立な一元配置とは違う設計なので、そのまま同じ手順を使いません。

全体平均は7です。群間平方和は、

$$SS_B=\sum_jn_j(\bar x_j-\bar x)^2 =3(5-7)^2+3(7-7)^2+3(9-7)^2=24$$

群内平方和は各群の平均からのずれを2乗して足し、各群2なので合計6です。全平方和は24+6 = 30になります。

群数k = 3、全体N = 9。群間自由度k−1 = 2、群内自由度N−k = 6です。

変動	平方和	自由度	平均平方	F
群間	24	2	12	12
群内（誤差）	6	6	1	—
全体	30	8	—	—

$$F=\frac{MS_B}{MS_W}=\frac{12}{1}=12$$

H0の下でF2,6分布を使い、上側p = 0.008。5%で棄却し、少なくとも一つの母平均が異なる根拠が得られました。

もし群内のばらつきが非常に大きければ、同じ平均差でもFは小さくなります。平均の違いを見るために、ばらつきを比較する理由がここにあります。

$$Y_{ij}=\mu+\alpha_j+\varepsilon_{ij}$$

μが全体の基準、αjが処理効果、誤差が個々の違いです。識別のために効果の和を0とするなどの制約を置きます。ダミー変数を使った線形回帰として表すこともできます。

統計的に平均が違っても、研究が観察的なら処理の因果効果とは断定できません。無作為割付と他条件の管理が、効果を解釈する土台です。

肥料を比較する際、畑の日当たりが違うなら、似た条件をブロックにまとめ、その中で処理を割り付けます。処理と無関係なばらつきを分けることで、処理間の比較を精密にできる場合があります。

無作為化、反復、局所管理というフィッシャーの3原則を、分析前の設計で実現します。データを集めた後に名前だけブロックと付けても、比較条件がそろうとは限りません。

完全な乱塊法でk処理をbブロックすべてに一つずつ置き、加法的モデルを仮定する場合、処理・ブロック・誤差へ分解し、自由度はk−1、b−1、(k−1)(b−1)です。反復のない各セルでは交互作用を独立に推定できないなど、設計上の限界もあります。

各群の人数・平均・標準偏差、F値と二つの自由度、p値、前提の確認を添えます。どの群が違うかを調べるには多重比較などの追加手順が必要です。「全組が違う」「最も平均の高い群が必ず最良」とは結論づけません。

1. 4群、全体20人の一元配置で、群間・群内の自由度を答えてください。
2. 群間平均平方15、群内平均平方3ならFはいくつですか。
3. 分散分析が有意なら、すべての群の母平均が互いに異なると分かりますか。

解答・解説

1. 3と16です。
2. 5です。
3. 分かりません。少なくとも一つが違うという判断で、組ごとの違いは別に検討します。