25. 人文科学：数量化・対応分析・SEM

カテゴリ回答の関係を地図にするのか、潜在概念を測るのか、概念間の仮説を検討するのかで方法は変わります。数量化理論I類はカテゴリ説明変数から量的応答を予測し、II類は群を判別、III類はカテゴリ反応の類似構造、IV類は対象間の親近性を配置として表す方法です。番号を覚えるだけでなく、入力と出力を説明します。

度数表を総数で割った行列を $P$、行・列の周辺比率を $r,c$ とします。独立モデルからの標準化されたずれ

$$S=D_r^{-1/2}(P-rc^T)D_c^{-1/2}$$

を特異値分解します。特異値の2乗は各軸の慣性で、総慣性は Pearson の $X^2/n$。対応分析は独立性の検定と同じずれを幾何学的に要約します。

例として表 $\begin{pmatrix}30&10\\10&30\end{pmatrix}$ は総数80、周辺比率がすべて0.5なので、$S=\begin{pmatrix}0.25&-0.25\\-0.25&0.25\end{pmatrix}$。非零特異値0.5、慣性0.25、$X^2=20$ です。地図上の行点同士・列点同士の距離は選んだ尺度の意味を持ちますが、行点と列点の距離をそのまま類似度と読むのは危険です。

対象間距離 $D$ が与えられた古典的MDSでは、$J=I-11^T/n$ を使い $B=-\tfrac12 JD^{(2)}J$ を固有分解します。正の固有値の平方根を座標にします。元の距離がユークリッド的でなければ負の固有値が現れます。非計量MDSは距離の順位関係を重視し、配置のストレスを小さくします。PCAのように変数の分散を直接最大化する方法ではありません。

$M=aX+u$、$Y=c'X+bM+v$ とすると、仮定の下で直接効果は $c'$、間接効果は $ab$、総効果は $c'+ab$。$a=0.5,b=0.6,c'=0.2$ なら間接0.3、総効果0.5です。ただし交絡、逆因果、測定誤差がないといった識別条件なしに因果効果と断定できません。

SEM（共分散構造分析）は測定モデルと構造モデルを組み合わせ、含意される共分散を観測共分散に合わせます。CFAで負荷の一部を0にし、潜在変数の分散を1にするか負荷を1つ固定して尺度を識別します。自由母数が観測モーメントより少なくても、局所識別が保証されるわけではありません。

適合度のカイ二乗、RMSEA、CFI、残差などを併せて評価します。修正指標で経路を追加し続けると過適合しやすいため、理論と別標本で検証します。よい適合は、因果方向が一意に正しいことの証明ではありません。

媒介経路の係数が $a=0.4,b=0.5$、直接経路が0.1なら、モデル上の総効果は？

解答・解説

$0.1+0.4\times0.5=0.3$。標準化の有無をそろえ、因果的解釈に必要な仮定を別途確認します。