11. 不適合数・発生率の検定と推定

布の傷の総数を比べるとき、調べた面積が違えば件数だけでは判断できません。検査面積・時間・長さなどの機会量をt、単位当たりの率を $\lambda$ とすると、一定率のポアソンモデルは $D\sim\operatorname{Po}(t\lambda)$、推定値は $\hat\lambda=D/t$ です。

$H_0:\lambda=\lambda_0$ に対し、期待総数 $t\lambda_0$ が十分大きいとき、

$$Z=\frac{D-t\lambda_0}{\sqrt{t\lambda_0}},\qquad \hat\lambda\pm1.96\frac{\sqrt D}{t}$$

を検定と近似95%区間に使えます。tは検査した単位数だけでなく、連続量の面積や時間でも構いません。

100m²に150個、基準1.2個/m²なら、帰無仮説の期待総数120個、z＝$30/\sqrt{120}=2.7386$。両側5%で棄却します。率の推定は1.5個/m²、95%区間は約[1.260, 1.740]個/m²です。

独立な観測 $D_1,D_2$ と機会量 $t_1,t_2$ に対し、$H_0:\lambda_1=\lambda_2$ の共通率は $\hat\lambda_c=(D_1+D_2)/(t_1+t_2)$。

$$Z=\frac{D_1/t_1-D_2/t_2}{\sqrt{\hat\lambda_c(1/t_1+1/t_2)}}.$$

100m²で150個、200m²で200個なら、率は1.5と1.0、共通率350/300、SE＝0.13229、z＝3.7796です。総数は群2の方が多くても、率は群1が高くなります。

率差の近似区間には $SE=\sqrt{D_1/t_1^2+D_2/t_2^2}$ を使い、差0.5の95%区間は約[0.223, 0.777]個/m²。検定のプール分散と区間推定の分散を区別します。

少数事象では正規近似の精度が不十分で、下限が負になることもあります。0件でも率が0と確定するわけではありません。正確なポアソン区間などを使います。発生の集中や場所による率の違いがあれば、ポアソンモデル自体を見直し、層別や工程解析へ戻ります。

離散分布と検定の原理でモデルと近似の条件を復習します。

50m²に100個の傷。単位当たり率の推定値と近似標準誤差は？

解答・解説

率は2個/m²、SEは $\sqrt{100}/50=0.2$ 個/m²です。