23. ARIMA・状態空間・非定常時系列

時間順の観測は独立とは限りません。平均のトレンド、季節性、自己相関、分散の変化を分けて考えます。トレンドを持つ2系列をそのまま回帰すると、無関係でも有意に見える見せかけの回帰が起こり得ます。

AR(1) $X_t=\phi X_{t-1}+\varepsilon_t$ は $|\phi|<1$ で定常解を持ち、$\gamma(0)=\sigma_\varepsilon^2/(1-\phi^2)$、$\rho(k)=\phi^{|k|}$。MA(1) $X_t=\varepsilon_t+\theta\varepsilon_{t-1}$ の自己相関はラグ1が $\theta/(1+\theta^2)$、ラグ2以降0です。符号の流儀を確認します。

ARIMA $(p,d,q)$ は $d$ 階差分にARMAを置き、

$$\phi(B)(1-B)^dX_t=c+\theta(B)\varepsilon_t$$

と書きます。過度な差分は情報を損ねるため、プロット・ACF・残差診断と目的を合わせて次数を決めます。季節差分は $1-B^s$。季節調整は季節成分を分離する操作で、長期変動まで消すことではありません。

$\phi=0.8,\sigma_\varepsilon^2=1,X_t=5$ なら2期先予測は $0.8^2\times5=3.2$。2期先予測誤差分散は $1+0.8^2=1.64$。定常分散 $1/(1-0.64)=2.7778$ とは異なります。予測期間が長くなると誤差が蓄積します。

状態方程式 $z_t=Fz_{t-1}+u_t$、観測方程式 $y_t=Hz_t+v_t$ に分け、観測できない水準や傾向を推定します。線形ガウスならKalman filterは予測→観測による更新を繰り返します。1次元の利得は $K=P^-/(P^-+R)$。事前分散4、観測誤差分散1なら $K=0.8$ で、予測より観測を強く重視します。平滑化は将来の観測も用いるため、リアルタイムのフィルタとは違います。

単純指数平滑は $\ell_t=\alpha y_t+(1-\alpha)\ell_{t-1}$。重みが幾何級数的に減り、$\alpha$ が大きいほど最近の値に敏感です。

$\phi=1$ のAR(1)は単位根を持つランダムウォーク。単位根検定の統計量は通常のt分布に従わず、定数・トレンド項の指定も重要です。各々I(1)でもある線形結合がI(0)なら共和分があり、誤差修正モデルで長期均衡からのずれと短期変化を扱います。

ARCH(1)は $\varepsilon_t=\sqrt{h_t}z_t,h_t=\alpha_0+\alpha_1\varepsilon_{t-1}^2$。$\alpha_0>0,0\le\alpha_1<1$ なら無条件分散は $\alpha_0/(1-\alpha_1)$。平均の自己相関が小さくても、2乗には相関が残り得ます。評価は将来方向へ順に行い、ランダムな時点分割を避けます。

MA(1)で $\theta=0.5$ のラグ1自己相関は0.5か？

解答・解説

$0.5/(1+0.25)=0.4$。係数と自己相関は同じではありません。