18. 実験の原則・一元配置の分散分析

温度A・B・Cを試すとき、Aを午前、Bを昼、Cを夕方だけで測ると、時刻の影響と温度を分離できません。無作為化は実施順などへ偏りが固定されるのを防ぎ、反復は実験誤差を評価し、局所管理は日や材料ロットなどの条件をそろえて誤差を減らします。

同じ試験片を何度も読み取ることは、独立に処置した試験片の反復と同じではありません。実験単位を明確にします。因子は変える条件、水準はその設定値、特性は測る結果です。

固定効果のモデル $Y_{ij}=\mu+\alpha_i+\varepsilon_{ij}$ を考えます。誤差が独立・共通分散・正規の条件で、帰無仮説はすべての水準の母平均が等しいことです。

$$S_T=\sum_{i,j}(y_{ij}-\bar y)^2=S_A+S_E, \quad S_A=\sum_i n_i(\bar y_i-\bar y)^2, \quad S_E=\sum_{i,j}(y_{ij}-\bar y_i)^2.$$

F値は $\{S_A/(a-1)\}/\{S_E/(N-a)\}$。Nは全観測数、aは水準数です。

水準	観測値	平均
A	8, 9, 10	9
B	10, 11, 12	11
C	12, 13, 14	13

全体平均11。$S_A=3\{(9-11)^2+(11-11)^2+(13-11)^2\}=24$、各群の群内平方和2なので $S_E=6$、全体平方和30です。

要因	平方和	自由度	平均平方	F
水準間A	24	2	12	12
誤差E	6	6	1	—
合計T	30	8	—	—

$F_{0.95,2,6}=5.1433$ を超え、p＝0.008。少なくとも一つの母平均が異なるという証拠です。全組合せに差があるという結論ではありません。

本例の各水準平均の標準誤差は $\sqrt{V_E/3}=1/\sqrt3$。事前に定めた一つの水準平均の95%区間は $\bar y_i\pm t_{0.975,6}/\sqrt3$ です。複数の区間や対比較を同時に評価する場合は多重性に配慮します。残差の分布、分散、実施順での変化を確認し、有望な条件は確認実験で再現性を調べます。

実験の設計と分散分析に対応します。

4水準、各5反復の一元配置。水準間・誤差・全体の自由度は？

解答・解説

順に3、16、19です。総数20から水準数4を引くと誤差自由度になります。