7. 確率変数と同時分布

何のために確率変数を使うのか

一回の結果が不確かでも、回数や得点、待ち時間を数値に対応させれば、その平均やばらつきを考えられます。偶然の結果に応じて値が決まる量が確率変数です。二つの作業の合計時間を考えるときには、それぞれの分布だけでなく、同時にどう変わるかも必要です。

離散型は回数など、数えられる値を取り、確率質量 $P(X=x)$ を足すと1です。連続型は確率密度fを持つ場合、区間の確率を面積で計算します。

P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1

密度は1を超えても構いませんが、確率は1を超えません。連続型では一点の確率は0です。累積分布関数 $F(x)=P(X\le x)$ はどちらの型でも定義でき、減少せず、0から1へ変化します。

E(X)=\sum_x xP(X=x),\qquad V(X)=E(X^2)-\{E(X)\}^2

連続型では和を積分に置き換えます。期待値は起こりやすさで重み付けした平均で、一回の結果を保証する値ではありません。Xが0と2を半分ずつ取るなら期待値1ですが、実際に1は出ません。

E(aX+b)=aE(X)+b,\qquad V(aX+b)=a^2V(X)

平行移動は分散を変えず、倍率の2乗で分散が変わります。標準偏差は倍率の絶対値倍です。

二つの0・1変数X・Yの同時分布を考えます。

X＼Y	0	1	Xの周辺確率
0	0.4	0.1	0.5
1	0.2	0.3	0.5
Yの周辺確率	0.6	0.4	1

全セルの和は1です。行・列に沿って足すと周辺分布になります。 $P(Y=1\mid X=1)=0.3/0.5=0.6$ 。周辺の $P(Y=1)=0.4$ と異なるので、X・Yは独立ではありません。

独立なら、すべての値の組について $P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ が成り立ちます。一つのセルだけで一致しても十分ではありません。

X・Yが0・1なので、 $E(X)=0.5$ 、 $E(Y)=0.4$ 、分散は0.25と0.24です。XYが1になるのは両方1のときだけなので、 $E(XY)=0.3$ 。

\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.1

相関は $0.1/\sqrt{0.25\times0.24}\approx0.408$ です。独立なら共分散0ですが、共分散0だから独立とは一般に言えません。例外として、2変量正規分布では無相関と独立が対応します。

\begin{aligned} E(X\pm Y)&=E(X)\pm E(Y) \\ V(X+Y)&=V(X)+V(Y)+2\operatorname{Cov}(X,Y) \\ V(X-Y)&=V(X)+V(Y)-2\operatorname{Cov}(X,Y) \end{aligned}

期待値の加法性には独立性は不要です。分散には共分散が入ります。上の同時分布では和の平均0.9、分散0.25+0.24+0.2 = 0.69。差の平均0.1、分散0.25+0.24−0.2 = 0.29です。

正に関連する二つの値は、一緒に大きく・小さくなりやすいため和の分散が増えます。一方、差では同じ方向の変動が打ち消されます。対応のあるデータを差で解析する理由にもつながります。

一般に $V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\operatorname{Cov}(X,Y)$ です。独立な量の平均なら、分散を足して人数の2乗で割ることで、標本平均の分散を導けます。

解答・解説