14. 二項分布・不適合品数の確率

同じ工程で不適合品率が一定でも、毎回の検査で不適合品数は変わります。各判定が独立で、不適合確率 $p$ が一定、調べる個数 $n$ が固定なら、個数 $X$ を二項分布 $B(n,p)$ で表せます。

$$P(X=k)=\binom nkp^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\ldots,n.$$

組合せは「どのk個が不適合か」の並び方を数えます。不適合と適合の2結果であること、1個あたりの判定を単位とすることを確認します。一つの品物に複数ある傷の総数は、このままの二項モデルではありません。

仮に $p=0.1,n=10$ なら、0個の確率は $0.9^{10}\approx0.348678$、ちょうど1個は $10(0.1)(0.9)^9\approx0.387420$。

$$P(X\ge1)=1-P(X=0)\approx0.651322,\qquad P(X\le1)\approx0.736099.$$

「少なくとも1個」は余事象を使うと簡単です。0個だったとしても、母不適合品率が0と分かったわけではありません。

• B(10,0.1)の理論確率

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

不適合品数k（個）	確率P(X＝k)
0	0.348678
1	0.38742
2	0.19371
3	0.057396
4	0.01116
5	0.001488
6	0.000138
7	0.000009
8	0
9	0
10	0

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

$$E(X)=np,\quad\operatorname{Var}(X)=np(1-p),\quad \operatorname{Var}(X/n)=\frac{p(1-p)}n.$$

この例の平均は1個、分散0.9、標準偏差約0.9487個。平均1個は、毎回1個出るという意味ではありません。率の標準偏差は標本数が増えると小さくなり、p管理図の限界の幅につながります。

同じ材料ロットで不適合がまとまって出るなら独立性が疑わしく、時間とともに発生率が変わるなら一定pを疑います。小さな有限ロットから非復元で大きな割合を取る場合、厳密には超幾何分布になります。正規近似を使うなら、両方の期待個数が十分あるか、必要な尾確率の精度を確認します。

3級の分布の導入と2級の離散分布へ。有限集団との違いを深める場合は1級の離散モデルを参照できます。母比率の区間推定は2級の推定へ進む発展内容です。

不適合確率0.2、独立に5個を調べるとき、1個以上の確率は？

解答・解説

$1-0.8^5=0.67232$。ちょうど1個の確率とは違います。