10. 不適合品率の検定と推定

不適合品率pは、製品を一つ抽出したとき不適合である確率です。一つの品物に傷が三つあっても、不適合品数としては一つです。各判定が独立で、対象集団の率が一定であることを確認します。

標本比率 $\hat p=d/n$。$H_0:p=p_0$ の正規近似検定は

$$Z=\frac{\hat p-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.$$

例としてn＝400、不適合品28個なら $\hat p=0.07$。基準 $p_0=0.05$ に対しSE＝0.010897、z＝1.8353。増加の片側5%では1.6449を超える一方、両側5%では1.96を超えません。方向は事前に決めます。

教科書的な近似95%信頼区間（Wald型）は

$$\hat p\pm1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}n}.$$

上の例では約[0.0450, 0.0950]です。検定の分母は帰無仮説の $p_0$、区間推定では推定値 $\hat p$ を用いる点が違います。希少事象や小標本ではこの区間の精度が悪く、0個なら幅0となる問題もあります。その場合は二項分布による正確法やWilson区間などを検討します。

独立二群で $H_0:p_1=p_2$ のとき、共通比率を $\hat p_c=(d_1+d_2)/(n_1+n_2)$ と推定し、

$$Z=\frac{\hat p_1-\hat p_2}{\sqrt{\hat p_c(1-\hat p_c)(1/n_1+1/n_2)}}.$$

各n＝500、群1は40個、群2は20個なら、比率差0.04、共通比率0.06、SE＝0.015020、z＝2.6631。両側5%で差を検出します。

差の近似95%区間では、共通率にプールせず $SE=\sqrt{\hat p_1(1-\hat p_1)/n_1+\hat p_2(1-\hat p_2)/n_2}$ を使い、約[0.0107, 0.0693]です。これは4パーセントポイントの差で、相対的に50%低いという表現とは単位が違います。

2標本の検定と1標本の推定を参照してください。

n＝1000、d＝60、p0＝0.05の検定で分母へ代入する比率は？

解答・解説

帰無仮説の0.05です。$z=(0.06-0.05)/\sqrt{0.05\times0.95/1000}\approx1.4510$。