7. 生産関数と費用最小化

何のために学ぶか

同じ数量を作るにも、人員を増やす、設備を増やす、両方を変えるなどの方法があります。生産理論は技術的に可能な組合せと、その中で費用の小さい組合せを分けて考えます。活動量を追う管理会計と、資源の組合せを選ぶ経済学がつながる分野です。

生産関数を $q=f(L,K)$ とします。労働 $L$ と資本 $K$ から得られる最大生産量を表す技術的な関係です。短期では少なくとも一部の投入が固定、長期ではすべての投入を調整できると考えます。「短期は必ず1年以内」という暦上の区分ではありません。

例として $q=\sqrt{LK}$ 、短期の資本が $K=4$ なら $q=2\sqrt L$ 。労働を4から9へ増やすと生産量は4から6へ増えます。労働の限界生産力は $MP_L=1/\sqrt L$ で、資本固定のもとでは労働を増やすほど小さくなります。

労働価格 $w=4$ 、資本価格 $r=1$ 、目標生産量 $q=8$ とします。長期の費用最小化は、

\min_{L,K\geq0}(4L+K)\quad\text{subject to}\quad\sqrt{LK}\geq8

等量曲線上では $LK=64$ 。内点条件は、

\frac{MP_L}{MP_K}=\frac{K}{L}=\frac{w}{r}=4

したがって $K=4L$ 、 $4L^2=64$ より $L=4,K=16$ 、費用32です。投入価格が違うので、数量を等しくするのが最適とは限りません。 $K=64/L$ を代入した費用 $4L+64/L$ の最小化からも求められます。

完全補完技術 $q=\min(L,K)$ なら、代替はできず $L=K=q$ です。等量曲線の接点条件は、代替可能で滑らかな内点解のときに使います。

$q=\sqrt{LK}$ で両投入を2倍にすると、生産量も2倍です。規模に関する収穫一定です。一般の $q=AL^\alpha K^\beta$ では、指数和が1超なら収穫逓増、1なら一定、1未満なら逓減になります。

「労働だけを増やすと限界生産力が逓減」と「すべての投入を増やすと収穫一定」は両立します。何を固定し、何を増やしたかが違うためです。規模の経済は費用の概念で、技術と投入価格の条件にも注意して対応付けます。

人件費削減が設備費や保全活動を増やす場合、1科目だけで判断すると全体の費用を見落とします。投入の組合せと、各組合せで発生する活動・資源消費を整理します。実際の生産関数はデータから検証する必要があり、回帰の係数を無条件に技術的因果効果とみなすことはできません。

同じ技術と投入価格で目標生産量を16にしたときの最適投入と費用を求めてください。

解答・解説

$LK=256,K=4L$ より $L=8,K=32$ 。費用は64です。目標生産量が2倍になると、最適な両投入と費用も2倍になります。