12. 分割表の独立性の検定

行を品種、列を適合・不適合として集計した表を分割表と呼びます。独立性の帰無仮説は、行と列の分類が母集団で関連しないことです。製品を独立に観測した度数を使い、割合の表をそのまま件数として代入しません。

$$E_{ij}=\frac{(\text{行合計}_i)(\text{列合計}_j)}N,\qquad Q=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}}.$$

近似の自由度は $(r-1)(c-1)$。二乗和なので、上側だけを棄却域にします。

品種	不適合品	適合品	計
A	20	80	100
B	10	90	100
計	30	170	200

独立なら各行の期待度数は不適合15、適合85です。

$$Q=\frac{25}{15}+\frac{25}{85}+\frac{25}{15}+\frac{25}{85}=3.92157.$$

自由度1の上側5%限界3.84146を超え、p値は約0.0477。ここでは連続性補正をしないPearsonのカイ二乗検定です。2×2表では、同じ補正なしの二比率の両側z検定の統計量の二乗に一致します。

品種Aで不適合品率が高いという関連は、品種そのものの因果効果の証明ではありません。Aだけ古い設備で作っているかもしれません。勤務帯や設備で層別して、交絡を調べます。

期待度数が小さいセルが多いと近似は不安定です。目的に合う場合はFisherの正確検定などを検討します。同じ品物の前後を独立な2×2表へ入れるのも不適切です。データの対応を保つ別の方法が必要です。

カイ二乗検定と関連の尺度へ進みます。

3行×2列の分割表の独立性検定の自由度は？

解答・解説

$(3-1)(2-1)=2$です。セル数6や全件数からは求めません。