11. 確率変数と確率分布

硬貨を4回投げたときの表の回数は、0〜4回のどれかになります。毎回同じ回数にはなりませんが、それぞれの回数がどのくらい起こりやすいかを整理できます。このように、偶然の結果に応じて値が決まる量を確率変数、値と確率の対応を確率分布といいます。

分布を使うと、一つずつ樹形図を書く代わりに、多くの繰り返しの確率をまとめて計算できます。また、標本平均がどのくらい変動するかを理解する基礎になります。

離散的な値を取る確率変数Xでは、

$$E(X)=\sum_x xP(X=x),\qquad V(X)=\sum_x\{x-E(X)\}^2P(X=x)$$

です。$E(X)$ は期待値（平均）、$V(X)$ は分散、標準偏差は $\sqrt{V(X)}$ です。すべての値を同じ重みで平均するのではなく、それぞれの確率で重み付けします。

例えば公平な硬貨で、裏なら0点、表なら2点とすると、平均は0 × 1/2 + 2 × 1/2 = 1点。分散は(0 − 1)² × 1/2 + (2 − 1)² × 1/2 = 1です。1点という結果自体は起こりませんが、期待値は1点です。一度の結果を約束する数値ではありません。

次の条件を満たす試行をn回行ったときの成功回数Xは二項分布に従い、$X\sim B(n,p)$ と書きます。

• 各回は成功・失敗に分けられる。
• 成功確率pが各回で同じ。
• 各試行が互いに独立。
• 試行回数nが決まっている。

$$P(X=k)=\binom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad E(X)=np,\quad V(X)=np(1-p)$$

$\binom nk=n!/[k!(n-k)!]$ は、n個の位置から成功するk個の位置を選ぶ数です。$n!=n(n-1)\cdots1$、$0!=1$ と約束します。

公平な硬貨を独立に4回投げるので、n = 4、p = 1/2です。表が2回となる位置の選び方は6通り。一つの並びの確率は(1/2)⁴ = 1/16なので、確率は6/16 = 3/8です。

表の回数k	0	1	2	3	4
確率	1/16	4/16	6/16	4/16	1/16

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

表の回数	確率	確率（%）
0	1/16	6.25
1	4/16	25
2	6/16	37.5
3	4/16	25
4	1/16	6.25

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

少なくとも3回表は(4 + 1)/16 = 5/16です。平均は4 × 1/2 = 2回、分散は4 × 1/2 × 1/2 = 1です。

一方、戻さず取るくじは、前の結果によって成功確率が変わるので、通常この二項分布をそのまま使えません。条件の確認を計算より先に行います。

正規分布は、平均を中心に左右対称な釣鐘型の分布です。$X\sim N(\mu,\sigma^2)$ と書き、平均が $\mu$、分散が $\sigma^2$ です。標準偏差を第2引数とするソフトもあるため、表記の約束を確認します。

連続する値では、確率は曲線の下の面積で表します。曲線の高さそのものが確率ではありません。一点ぴったりの確率は0でも、区間に入る確率は正になります。

標準化すると、平均0・分散1の標準正規分布を使えます。

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$$

• 青い領域：中央約95%
• 縦軸は確率密度。確率は面積で表す

チャートを読み込んでいます。数値は本文・表でも確認できます。

グラフの数値を表で確認する

範囲	確率（近似）
−1.96以上1.96以下	95%
−1.96未満	2.5%
1.96より大	2.5%

学習用のデータ・理論値。狭い画面ではグラフを横にスクロールできます。

測定値が平均50・標準偏差10の正規分布に従うとします。40以上60以下の確率を求めます。40を標準化すると−1、60は1なので、$P(-1\le Z\le1)\approx0.6827$、約**68.3%**です。

標準正規分布では、平均から標準偏差1個以内が約68.3%、2個以内が約95.4%、3個以内が約99.7%です。これは正規分布の性質で、任意の分布にそのまま当てはまるわけではありません。

分布表には、左側の累積確率 $\Phi(z)=P(Z\le z)$ を示すものや、0からzの間の面積を示すものがあります。例えば $\Phi(1)=0.8413$ なら、対称性から $\Phi(-1)=0.1587$、差は約0.6826です。丸めの桁によって末尾は少し変わります。表の見出しと図で、どの面積が載っているかを確認しましょう。

公平な硬貨を独立に100回投げた表の回数Xを考えます。二項分布の平均は50、分散25、標準偏差5です。nが大きく、npとn(1−p)が十分大きいと、$N(50,25)$ に近似できます。pが0や1に近いなど偏りが強いと、近似精度に注意が必要です。

「60回以上」を連続分布で近似するときは、整数の60に対応する範囲の左端を59.5として扱う連続修正を行います。

$$P(X\ge60)\approx P\left(Z\ge\frac{59.5-50}{5}\right) =P(Z\ge1.9)\approx0.0287$$

約2.87%です。二項分布の正確な確率と一致するわけではありません。問題で近似法や連続修正の指定があれば従います。「40〜60回」の両端を含む範囲なら、39.5〜60.5に広げて考えます。

1. 成功確率0.2で独立に10回試行する成功回数の平均と分散はいくつですか。
2. 平均100・標準偏差15の正規分布で、130は標準化するといくつですか。130以上の確率はおよそ何%ですか。
3. 二項分布の「Xが5以下」を正規近似するとき、連続修正後の上限はいくつですか。

解答・解説

1. 平均10 × 0.2 = 2、分散10 × 0.2 × 0.8 = 1.6です。
2. z = (130 − 100)/15 = 2、上側確率は約**2.28%**です。
3. 5.5です。5という整数に対応する区間を含めます。

QC検定3級の正規分布では寸法の規格外確率、二項分布では検査した品物の不適合品数を計算します。p・np管理図へ進むと、一定の率でも観測数が変動することを工程監視へつなげられます。