総合演習32問と解説

$E(X)=2+4(0.3)=3.2$。全分散公式から $1+16(0.3)(0.7)=4.36$。条件付き分散1だけで計算すると、群間の差を落とします。

$-np_1p_2=-1.2$。人数の総和が20という制約があり、1つの分類が増えると他に残る人数は減ります。各周辺が二項でも同時に独立ではありません。

累積ハザードは $t^2/10000$、したがって $S(t)=e^{-(t/100)^2}$。形2・尺度100のワイブルで $S(100)=e^{-1}\approx0.3679$。$h(100)=0.02$ は生存確率ではありません。

支持域は $0<y<1$、逆変換 $x=\sqrt y$ の微分より $f_Y(y)=1/(2\sqrt y)$。積分は $[\sqrt y]_0^1=1$。元の支持域が正なので負の平方根からの寄与はありません。

$E(M)=9\theta/10$ なのでバイアスは $-\theta/10$。不偏推定量は $10M/9$、値は20。観測バイアスが−2と分かるのではなく、反復標本での期待値のずれを補正しています。

$\ell=n\log\lambda-\lambda\sum x_i$、$U=n/\lambda-\sum x_i$、$I_n=-E(\ell'')=n/\lambda^2$。正則な不偏推定量の分散下限は $\lambda^2/n$。MLE $n/\sum X_i$ は有限標本では不偏ではありません。

$g'(2)=4$ より $16\times4/n=64/n$。$\sqrt n(\hat\theta^2-4)$ の極限分散は64です。この2つの分散の書き分けが重要です。

同じ標本抽出と区間構成を繰り返したとき、作られる区間の95%が固定された真の母平均を含む、という性質です。観測後の母数への確率を述べるには、事前分布を含む別の枠組みが必要です。

$n\ge\{(1.64485+0.84162)2/1\}^2\approx24.73$、切り上げ25。これは片側検定の設計で、両側なら1.96を使い別の標本数になります。

p値は $P(X\ge10)=2^{-10}=0.0009765625$、MLEは1。MLEが境界でも真の確率が必ず1とは言えません。Wald区間は幅0となるため適切な区間法を選びます。

Aは104、Bは106なのでAです。同じ観測データ・比較可能な尤度であることが条件です。Bの学習時の適合はよくても、複雑さの罰則が上回ります。

列フルランクならBLUEです。ガウス・マルコフ定理に正規性は不要です。一方、有限標本の厳密なt分布は一般に保証されず、大標本近似などの条件が別途必要です。

Aの日照差は4、Bは1、B−Aの差の差は−3。平均には交互作用が見えます。ただし有意性は反復数や誤差分散を使って評価する必要があり、この平均だけでは検定できません。

$2P\{\mathrm{Bin}(10,0.5)\le1\}=2(1+10)/1024=0.021484375$。一致ペアはこの条件付き計算に入りません。前後の同一対象という対応が根拠です。

$2P\{\mathrm{Bin}(8,0.5)\le1\}=18/256=0.0703125$。符号だけを使うため大きさの情報を使いません。差の対称性を要する符号付き順位検定とは異なります。

未観測の値への依存が残るMNARの可能性があります。観測データだけでは一般に欠測機構を識別できず、MARでの結果と、未観測値をずらす等のMNAR仮定での結果を比較します。単純な平均補完では解消できません。

事後はBeta(8,5)、平均 $8/13\approx0.6154$。次の1試行の事後予測成功確率も8/13です。将来の複数試行には母数の不確実性を積分します。

SEを1/4にするので反復数は16倍、16万回です。MCMCなら自己相関により、反復数ではなく有効標本数を考える必要があります。

設計効果 $1+9(0.1)=1.9$ より約190人。ただし集落数や配分・重みによって精度は変わります。無回答を20%見込むなら募集は約238人へ切り上げます。

固有値3、1、方向は $(1,1)/\sqrt2$ と $(1,-1)/\sqrt2$。第1の寄与率は3/4＝75%。正負反転した固有ベクトルも同じ主成分軸です。

基準オッズ0.25を3倍して0.75、確率 $0.75/1.75=3/7\approx0.4286$。確率を直接3倍するのではありません。

$0.1\pi_A=0.2\pi_B,\pi_A+\pi_B=1$ より $(2/3,1/3)$。この有限連鎖は既約・非周期なので初期分布によらず収束します。

定常分散は $2/(1-0.25)=8/3$。2期先誤差分散は $2(1+0.25)=2.5$。現在値を条件にした予測誤差と、無条件分布の分散は異なります。

合計分散は $4+2\times6\times0.25=7$。$\alpha=(4/3)(1-4/7)=4/7\approx0.5714$。αだけで一次元性、内容妥当性、因果的解釈は保証できません。

総慣性は $30/200=0.15$。独立からのずれを示しますが、因果関係は示しません。抽出・交絡・測定の仮定が別途必要です。

できません。出生地域から個人内平均を引くと0となります。時間不変の交絡を除ける利点と、時間不変変数の係数を識別できない制約が対応しています。

$F=\sqrt{121\times100}=110$。価格変化は倍率なので幾何平均を使います。算術平均110.5とは異なります。

両辺にAを掛け、$A=BCD$。Aと3因子交互作用BCDを分離できません。主効果として解釈するには高次交互作用を無視する根拠が必要です。

直列は $0.8\times0.9=0.72$、並列は $1-(0.2)(0.1)=0.98$。共通電源の故障など、独立でない共通原因があれば式は変わります。

RR＝0.5、RD＝−0.05（−5パーセントポイント）、相対変化率−50%。同じRRでも基準リスクにより絶対差が違います。効果の区間と研究設計の妥当性も必要です。

$(1-2/10)(1-1/6)=2/3$。途中の打ち切りによるリスク集合の減少が分母6に反映されています。全イベント3件/初期10人だけから0.7とするのは誤りです。

$PPV=0.08/(0.08+0.09)=8/17\approx0.4706$、陽性尤度比は0.8/0.1＝8。事前オッズ1/9を8倍し、事後オッズ8/9を確率へ戻しても8/17です。